Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Наша библиотека

Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика

Ашық сабақ Тақырыбы: Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе – теңдік. Логарифмдердің қасиеттері
2014-08-04, 1:02 PM
№32 жалпы білім беретін мектеп

Ашық сабақ
Тақырыбы: Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе – теңдік. Логарифмдердің қасиеттері.

Сыныбы: 11 «А»
Мұғалім: Жиенбаева Гулим Касымовна

Алматы қаласы
Сабақтың тақырыбы: Санның логарифмі. Негізгі логарифмдік тепе – теңдік. Логарифмдердің қасиеттері.
Сабақтың мақсаты:
Білімділік: Оқушыларға логарифмнің қасиеттерімен таныстырып, есептер шығаруда қолдана білуге үйрету.
Дамытушылық: Оқушылардың алгебра пәніне қызығушылықтарын арттырып, интерактивті технологияны қолдана білуге дағдыландыру.
Тәрбиелік: Оқушылар өз жетістіктерін бағалай білуге, өз бетінше есептер шығарып іздене білуге тәрбиелеу.
Сабақтың түрі: дәстүрлі
Сабақтың типі: жаңа сабақты меңгерту
Сабақтың әдісі: жеке, практикалық жұмыс
Сабақтың көрнекілігі: интерактивті тақта, компьютер.
Пәнаралық байланыс: тарих, информатика.
Сабақтың барысы:
Ұйымдастыру кезеңі. Оқушылармен сәлемдесу, түгендеу. Оқушылардың назарын сабаққа аудару.
Үй тапсырмасын тексеру. Оқушылардың өткен материалды қаншалықты меңгергендігін тексеру(№223,224 есептерінің жауаптарын ауызша оқыту)
«Ой қозғау» Оқушылардан өтілген материалдарды қайталау сұрақтары:
Көрсеткіштік функцияның негізі арқылы осы функцияның қандай қасиеттері анықталады?
Қандай көрсеткіштік функциялардың графиктері ордината осьіне қарағанда симметриялы болады?
Көрсеткіштік теңдеуді бірдей негізге келтіріп шығару тәсілі оң және бірге тең емес дәреженің қандай тәсіліне негізделген?
Көрсеткіштік теңдеу әр уақытта бірдей негізге келтіру тәсілімен шығарыла ма? Жауабын түсіндіріңдер
«Білімдіге биіктен орын».
Алгебраның тарихын пайдалану арқылы жаңа сабақты меңгерту. Алгебраны кейде «жеті амалдан тұратын арифметика» деп атайды, себебі алгебра төрт арифметикалық амалдан басқа дәрежеге шығару және оған кері екі амалды қарастырады.
5∙5∙5∙5=5^3=125 теңдігін алайық. Бұл теңдік дәрежеге шығару деп аталатын алтыншы амал. Бұл амалда дәреженің негізі (5 саны) және дәренің көрсеткіші (3 саны) беріліп, дәреженің мәні (125 саны) ізделінеді. Енді дәрежеге шығаруға кері екі амалды анықтайық.
18 санын алу үшін қандай санды үшінші дәрежеге шығару қажет екенін анықтау керек болсын. Егер ол санды х деп белгілесек, онда ол х^2=18 теңдеуін аламыз.
Берілген дәреже (18 саны) және оның берілген көрсеткіші (3 саны) бойынша х санын табу амалы түбір шығару деп аталып, былай белгіленетіні белгілі: х=∛18.
Түбір шығару алтыншы амал.
81 санын алу үшін негізі 3 болатын дәрежені қандай көрсеткішке шығару керек? Ол санды х деп белгілесек, онда 3^х=81 түріндегі теңдеуді аламыз. Дәреженің берілген негізі (3 саны) және берілген дәреже (81 саны) бойынша дәреженің көрсеткішін (х) табу амалын логарифмді табу деп атаймыз. Бұл алгебралық жетінші амал болып табылады.
Біздің жағдайда х=4, себебі 3^4=81.
Сонымен дәрежеге шығаруға кері екі амал бар екеніне көз жеткіздік. «Енді осы амалдар әр түрлі амалдар ма?» деген сұрақ туады. Мәселен, көбейту амалының екі кері амалы бар: 1) берілген көбейтінді мен белгілі екінші көбейткіш бойынша белгісіз бірінші көбейткішті табу; 2) берілген көбейтінді және белгілі бірінші көбейткіш бойынша белгісіз бірінші, екінші көбейткішті табу. Бірақ бұл екі амал әр түрлі емес, бір амал, бөлу амалы болып қарастырылады. Бұл екі кері амалдың бірігуі көбейтудің ауыстырымдылық қасиетін (көбейткіштердің орнын ауыстырғаннан көбейтінді өзгермейді) береді.
Қосу амалына да екі кері амалды көрсетуге болады (бірінші қосылғышты табу үшін қосындыдан белгілі қосылғышты азайту керек және екінші қосылғышты табу үшін қосындыдан белгілі қосылғышты азайту керек). Осы кері екі амал да бір амал – азайту амалы ретінде қарастырылады. Өйткені қосу амалында да ауыстырымдылық қасиет орындалады (қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді).
Осы ауыстырымдылық қасиет дәрежеге шығару амалы үшін орындалса, онода жоғарыда көрсетілген кері амалдар «түбір шығару» мен «логарифмді табу» бір амалды берер еді. Бірақ дәрежеге шығару амалы үшін ауыстырымдылық қасиеті орындалмайды, мысалы, 7^2≠2^7,〖10〗^3≠3^10.
Сондықтан берілген көрсеткіш және берілген дәреже бойынша негізді табу (түбір шығару) берілген негіз бен дәреже бойынша көрсеткішті табудан (логарифмді табу) өзгеше.
Сонымен, логарифмді табу дәрежеге шығаруға кері амалдардың бірі ретінде қарастырылады.
Анықтама. Қандай да бір а санын х дәрежеге шығару арқылы алынған в санын
а^х=в
теңдеуі түрінде жазуға болады. Мұндағы а және в – берілген сандар, ал х – белгісіз шама.
Бұл теңдеу әр уақытта шығарыла бермейді.
Мысалы, а саны оң, ал в саны теріс болса, онда (1) теңдеудің шешімі жоқ, себебі көрсеткіштік функция әр уақытта нөлден үлкен: а^х>0. Ал егер а және в оң сандар және а≠1 болса, онда (1) теңдеудің түбірі бар және ол біреу ғана.
теңдеуді графиктік тәсілмен шешейік. Теңдеудің сол жақ бөлігі көрсеткіштік функцияны, ал оң жағы у=в сызықтық функцияны береді. Бұл функциялардың графиктері бір нүктеде қиылысады.
y=b Анықтама. в саны шығу үшін а негізі шығарылатын х дәреже
көрсеткішін в санының а негізі бойынша логарифмі деп
атайды.
〖log〗_a b=x жазуы негізі а болатын в санының логарифмі х-ке
тең деп оқылады.
1-мысал. Негізі 5-ке тең 25, 625 және 1/125 сандарының логарифмін табайық.
Шешуі. Негізі 5 болатын 25 санының логарифмі 2-ге тең, себебі 5^2=25 немесе 〖log〗_5 25=2.
Негізі 5 болатын 25 санының логарифмі 4-ке тең, себебі 5^2=625 н/е 〖log〗_4 625=5.
Негізі 5 болатын 1/125 санының логарифмі -3-ке тең, себебі 5^(-3)=1/125 немесе 〖log〗_5 1/125=-3. Жауабы: 2; 4; -3.
Санның логарифмінің анықтамасынан
а^(〖log〗_a b)=b (2)
теңдігі шығады.
теңдікті логарифмнің негізгі тепе – теңдігі деп атайды.
2-мысал. 3^(〖log〗_3 27)=27; 5^(〖log〗_5 125)=125;
3-мысал. Негізі 9 болатын 27 санының логарифмін анықтайық.
Шешуі. 〖log〗_9 27=x болсын, онда логарифмнің анықтамасы борйынша, 9^х=27 немесе (3^2 )^х=3^х, бұдан х=3,х=3/2 Жауабы: 3/2
4-мысал. 16 санының логарифмі қандай негізде 4-ке тең болатынын анықтайық.
〖log〗_х 16=4. Логарифмің анықтамасы бойынша, 16=х^4 немесе 2^4=х^4, бұдан х=2. Жауабы: 2.
5-мысал. Негізі 81 болғанда -3/4-ке тең логарифмді анықтайық.
Шешуі. 〖log〗_81 х=-3/4 . Логарифмнің анықтамасы бойынша, х=〖81〗^(-3/4) немесе х=1/∜(〖81〗^3 )=1/∜(3^12 )=1/3^3 =1/27, яғни х=1/27. Жауабы: 1/27.
6−мысал. Негізі 2 болғанда, 0,125 санының логарифмін табайық.
Шешуі. 〖log〗_2 0,125=-3,себебі 0,125=125/1000=1/8=2^(-3)
Логарифмнің қасиеттері:
〖log〗_a a=1
〖log〗_a 1=0
〖log〗_a (bc)=〖log〗_a b+〖log〗_a c
〖log〗_a (b/c)=〖log〗_a b-〖log〗_a c
〖log〗_a b^n=n〖log〗_a b
〖log〗_a x=(〖log〗_b x)/(〖log〗_b a).
〖log〗_a b^n=n〖log〗_a b қасиетін дәлелдейік.
Дәлелдеу. b=a^(〖log〗_a b)негізгі тепе – теңдікті п-ші дәрежеге шығарайық. Сонда b^n=a^(〖nlog〗_a b). Демек, логарифмнің анықтамасы бойынша: 〖log〗_a (b^n )=n〖log〗_a b.
〖log〗_a (bc)=〖log〗_a b+〖log〗_a c қасиетін дәлелдейік.
Дәлелдеу.b және c оң сандар болсын, онда логарифмнің негізгі қасиеті бойынша: b=a^(〖log〗_a b),c=a^(〖log〗_a c). Осы екі теңдікті мүшелеп көбейтсек, bc=a^(〖log〗_a b+〖log〗_a c) теңдігін аламыз. Енді логарифмнің анықтамасын қолдансақ, 〖log〗_a (bc)=〖log〗_a b+〖log〗_a c шығады.
7-мысал. 1) 〖log〗_3 (243∙729)=〖log〗_3 243+〖log〗_3 729=5+6=11
2) 〖log〗_5 0,008/125=〖log〗_5 0,008-〖log〗_5 125=-3-3=-6
8-мысал. Негізі a^k болатын N санының логафмі берілген. Осы санның а негізі бойынша логарифмін табайық.
Шешуі. Логарифмнің жаңа негізге көшу формуласын қолданамыз: 〖log〗_(a^k ) N=(〖log〗_a N)/(〖log〗_a a^k )=(〖log〗_a N)/k=1/k∙〖log〗_a N
Жоғарыда келтірілген логарифмді табу қасиеттері кез келген алгебралық өрнекті логарифмдеу кезінде қолданылады.
Өрнекті логарифмдей білу логарифмдеудің нәтижесі бойынша осы нәтижені беретін өрнекті табуға мүмкіндік береді. Мысалы, егер 〖log〗_a x=〖log〗_a b+3〖log〗_a c-4〖log〗_a d теңдеуі берілсе, онда х=(bc^3)/d^4 болады.
Мұндай операцияны потенциалдау деп атайды.
Егер а және в-оң сандар және а≠1 болса, онда кез келген к≠0 саны үшін 〖log〗_3 4=〖log〗_(3^2 ) 4^2=〖log〗_√3 √4 және т.б.
Практикада логарифмнің дербес түрлері қолданылады.
Анықтама. Негізі 10 болатын санның логарифмі ондық логарифм деп аталады.
Ондық логарифмді жазу үшін lg белгісі қолданылады.
Мысалы, 〖log〗_10 217 орнына lg 217; 〖log〗_10 9 орнына lg 9 деп жазылады.
Ондық логарифмнің өзіне тән үш қасиеті бар:
бір саны және одан кейінгі нөлдер тұратын оң санның ондық логарифмі нөлдердің санына тең бүтін оң сан болады, яғни a=〖10〗^n болса, онда lga=lg〖10〗^n=n;
бір саны және оның алдындағы нөлдерден тұратын оң ондық бөлшектің ондық логарифмі п болады (мұндағы п нөл бүтінді қоса алғандағы нөлдердің санына тең), яғни a=〖10〗^(-n)=-n
нөлге және нөлінші дәрежеге тең емес рационал санның ондық логарифмі иррационал сан болады.
Мысалы, lg3, lg7, lg0,34, lg15 – иррационал сандар.
Есептеулерді жеңілдету үшін ондық логарифмдерді қолданған ыңғайлы. Сонымен қатар негізі е=2,7182818289... ( е иррационал сан, сондықтан шексіз периодсыз бөлшек түрінде жазылады) болатын логарифм де қолданылады.
Анықтама. Негізі е болатын санның логарифмі натурал логарифм деп аталады.
Натурал логарифмді жазу үшін ln белгісі қолданылады.
Мысалы, 〖log〗_e 13 орнына ln13 деп жазылады.
Проблемалық ситуация. Ал, қанекей оқушылар, 〖log〗_2 3 〖және log〗_3 4 логарифмін салыстырыңдар.
Шешуі. Әрине, бұл салыстыруды берілген қалпында салыстыру мүмкін емес. Сондықтан бұл тапсырма оқушыларды ойландырады және олар «бұл логаримді түрлендіру керек» деген қорытындыға келеді.
Мысалы, бұл логарифмді қандай да бір натурал санға көбейту керек, себебі логарифмдер көбейтуді қосуға әкелуге көмектеседі.
Логарифмді 1 санына көбейтуден ештеңе өзгермейді. Ендеше оларды 2 санына көбейтеміз:
2∙〖log〗_2 3=〖log〗_2 3^2=〖log〗_2 9>〖log〗_2 8=3
2∙〖log〗_3 4=〖log〗_3 4^2=〖log〗_3 16<〖log〗_3 27=3, осыдан 〖log〗_2 9>3 екенін көреміз, бірақ 〖log〗_3 16<3.
Олай болса, 2∙〖log〗_2 3>3,ал 2∙〖log〗_3 4 <3 немесе 〖log〗_2 3>〖log〗_2 4
«Ой толғаныс». Оқулықпен жұмыс.
№242 Салыстырыңдар:
∛(3 ) және (1/36)^(〖log〗_6 2)
Шешеуі. (1/36)^(〖log〗_6 2)=6^(-2〖log〗_6 2)=6^(〖log〗_6 1/4)=1/4,ал 1/4=∛(1/64).
3>1/64,олай болса ∛3>(1/36)^(〖log〗_6 2)
№247 Есептеңдер:
9^(〖log〗_27 √5)
Шешуі.
9^(〖log〗_27 √5)=(3^2 )^((〖log〗_3 √5)/(〖log〗_3 27))=3^(〖log〗_3 (5^(1/2) )^(2/3) )=5^(1/3)=∛5
№253 Өрнектің мәнін тап:
(〖log〗_5^2 7√5+2〖log〗_5^2 7-3(〖log〗_5 7√5) 〖log〗_5 7)/(〖log〗_5 7√5-〖log〗_5 49)
Шешуі.
Алдымен мына өрнекті түрлендіреміз:
〖log〗_5 7√5=〖log〗_5 7+〖log〗_5 √5=〖log〗_5 7+0,5〖log〗_5 5=〖log〗_5 7+0,5 Онда берілген бөлшек ((〖log〗_5 7+0,5)^2+2〖log〗_5^2 7-3(〖log〗_5 7+0,5) 〖log〗_5 7)/(〖log〗_5 7+0,5-2〖log〗_5 7)=(〖log〗_5^2 7+〖log〗_5 7+0,25+2〖log〗_5^2-3〖log〗_5^2 7-1,5〖log〗_5 7)/(0,5-〖log〗_5 7)=(-0,5〖log〗_5 7+0,25)/(0,5-〖log〗_5 7)=(-0,5(〖log〗_5 7-0,5))/(0,5-〖log〗_5 7)=0,5

Деңгейлік тапсырмалар: «Кім жылдам?»
1-деңгей(А)〖log〗_2 16, 〖log〗_0,2 0,04
2-деңгей(В) 〖log〗_(1/5) 9+〖2log〗_(1/5) 5/3, 〖log〗_7 196-2〖log〗_7 2
3-деңгей(С) 〖343〗^(2〖log〗_49 2), 4^(2〖log〗_32 10)
Үй тапсырмасы: №229,230,231,232,233,234 (жұп нөмерлері) және формулаларды жаттау
Қорытынды. Сабаққа белсене араласқан оқушыларды бағалау.
Категория: Математика | Добавил: Baktygul
Просмотров: 1078 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Понедельник, 2016-12-05, 7:30 AM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Психология [165]
Педагогика [291]
Математика [775]
Физика [242]
История [335]
Классному руководителю [518]
Русский язык и литература [696]
Физическая культура [200]
Английский язык [409]
Искусство [181]
Родительский совет [14]
Биология [319]
Информатика [365]
Начальная школа [1871]
Мой Казахстан [237]
Технология [126]
Самопознание [170]
Технология труда [49]
Персональная рубрика учителя технологии труда Шукурова Суюнгали Сагинтаевич. Западно-Казахстанская область,Жанибекский район,СОШ имени Т.Жарокова
НВП и ОБЖ [40]
Профессиональное образование [155]
Дошколенок [462]
География [129]
Школьная библиотека [48]
Казахский язык и литература [543]
Химия [33]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru