Сборник заданий.
К прикладному курсу «Элементы высшей математики для школьников»
Составитель: Е.П. Черепанова учитель математики.

с. Бородулиха 2010 год.
Пояснительная записка.
Данная программа значительно шире существующих сейчас учебников по математике для средней школы. В этом сборнике показаны примеры вычисления пределов, раскрытие неопределенности [0/0] и[∞/∞],что расширяет школьный курс понятия предела. Также показаны основные формулы производных сложной функции, для более упрощенного нахождения производных встречающихся в тестовых заданиях по ЕНТ. Кроме традиционного для курса средней школы понятия первой производной (и её приложения к исследованию функции), рассмотрено понятие второй производной и её применение к исследованию функции. Производные обратных тригонометрических функций , бином Ньютона, понятие комплексного числа и действий над ними.
Изучение данного курса дает расширенное понятие математики, как науки ,помогает учащимся лучше адаптироваться на первом курсе высших учебных заведений.
Цель: расширить понятие множества чисел, введением понятия комплексного числа; познакомить с правилами вычисления предела функции; привить интерес к математике.
Задачи:
-научить раскрывать неопределенности [0/0] и [∞/∞];
-находить производные сложных функций;
-выполнять действия с комплексными числами.

Понятие предела функции точке и непрерывность функции.
lim┬(х→а)⁡〖f(x)=f(a).〗
1)если существует предел функции при стремлении аргумента х к а , то этот предел только один;
2) если lim┬(х→а)⁡〖f(x)=b и lim┬(x→a)⁡〖g(x)=c,〗 〗 то существуют пределы алгебраической суммы, произведения, частного (при lim┬(х→а)⁡〖g(x)≠0)〗,причем lim┬(х→а)⁡〖f(x)∓g(x)=b∓c, lim┬(x→a)⁡〖f(x)∙g(x)=b∙c, lim┬(x→a)⁡〖(f(x))/(g(x))〗 〗 〗=b/(c.)
Найти пределы:[1]
lim┬(х→1)⁡〖(2х+3)〗 lim┬(х→3)⁡〖(х^2-9)/(х-3)〗 lim┬(х→-1)⁡〖(9-х)/(х^2+х+1)〗
lim┬(х→-1)⁡〖(-3-8х)〗 lim┬(х→-1)⁡〖(1-х^2)/(х+1)〗 lim┬(х→5)⁡〖(х^2-4х-5)/(х-5)〗
lim┬(х→3)⁡〖(х^2+х+1)/(2х+1)〗 lim┬(х→2)⁡〖(〖-х〗^2+3х-4)/(х+3)〗 lim┬(х→1)⁡〖√(х+1)/(х+1)〗
lim┬(х→3)⁡〖(3х-4)/(х^2-х-2)〗 lim┬(х→4)⁡〖(х^2-16)/(х-4)〗 lim┬(х→2)⁡〖(х^2-5х+6)/х^(2-4) 〗
Бесконечно малые функции.[2]
Определение: функцию α называют бесконечно малой при х→+∞, если для любого ε>0 найдется луч [М;+∞), на котором выполняется неравенство |α(х)|<ε.
Теорема. Если функция α постоянна и бесконечно мала при х→+∞, то она равна нулю при всех значениях х.
Предел функции на бесконечности.
Докажите что:
lim┬(х→+∞)⁡〖(2х+5)/3х〗=2/3 lim┬(х→+∞)⁡〖(6х^2-5)/(2+2х^2 )〗=3 lim┬(х→+∞)⁡〖(3х^2-2х+1)/(х^2+х-4)〗=3
lim┬(х→+∞)⁡〖(3х^2+6)/х^2 〗=3 lim┬(х→+∞)⁡〖(12х-7)/(4х+1)〗=3 lim┬(х→+∞)⁡〖(7х+6)/(8х^2+6)〗=0
lim┬(х→+∞)⁡〖(5х+14)/(х+2)〗=5 lim┬(х→+∞)⁡〖12х/(4х+1)〗=3 lim┬(х→+∞)⁡〖(5х^2-1)/(2х^2+8х+7)〗=5/2
lim┬(х→+∞)⁡〖(3х-2)/(х+2)〗=3 lim┬(х→+∞)⁡〖(х^2-3х+5)/(х^2+х-1)〗=1 lim┬(х→+∞)⁡〖(5-3х^2)/〖3+7х〗^2 〗=-3/7

Дифференциал функции от функции.[1]
Пусть y=F(u) является функцией u=f(x) от переменной u, которая, в свою очередь, есть функция u=f(x) от независимой переменной х. Таким образом, y=F(f(x)). Заданная так функция у называется функцией от функции или функцией заданной как сложная .
Полученная очень простая формула для дифференциала функции от функции означает, что форма записи дифференциала не зависит от того, что находится под знаком функции- независимая переменная или функции от другой переменной. Это свойство дифференциала носит название инвариантности.
〖(u〗^n)'=n∙u'∙u^(n-1) (1/u)'=-u'/u^2 〖(sin〗⁡〖u)'=u'∙cos⁡u 〗
(e^u)'=u'∙e^u (ln⁡〖u)'=u'/u〗 〖(cos〗⁡〖u)〗'=-u'∙sin⁡u
(a^u)'=u'∙a^u∙ln⁡a (tgu)'=u'/〖cos〗^2⁡u (〖sin〗^n⁡x)'=n∙cos⁡〖x∙〖sin〗^(n-1)⁡x 〗
(√u)'=u'/(2√u) (ctgu)'=-u'/〖sin〗^2⁡u (〖cos〗^n⁡〖x)'=-n∙sin⁡〖x∙〖cos〗^(n-1)⁡x 〗 〗
Вычислить производные функций.[3]
f(x)=√(2х^3-3х^2+7) f(x)=e^sin⁡x f(x)=sin⁡√x
f(x)=√(2x-х^2 ) f(x)=a^cos⁡x f(x)=cos⁡〖(ln〗⁡〖x)〗
f(x)=(x6+2x)76 f(x)=e^(x^2 ) f(x)=sin^3⁡x
f(x)=(x4-x)20 f(x)=a^tgx f(x)=cos^2⁡x
Вторая производная.[2]
Вторая производная выражает скорость изменения первой производной, или, как говорят, ускорение изменения данной функции. Если х = f(t)- координата прямолинейно движущейся точки в момент времени t, то х'' = f''(t) равно ускорению этой точки в этот же момент времени: a= v'=x''.
Вычислить.
(х3+4х2-7)'' (х5-3х3+х+8)'' ((х^2+2)/х^(2-4) )''
Применение производных высших порядков к исследованию функций.[2]
Исследование графиков на выпуклость.
Теорема. Пусть на отрезке [a;b] функция f непрерывна и внутри этого отрезка f ''>0 (соответственно f ''<0 ). Тогда график функции f обращен на этом отрезке выпуклостью вниз ( соответственно вверх).
Определить выпуклость функции.
f(x)=x4 f(x)=x3-6x2+12x+4 f(x)=x^3/(x^2+12)
f(x)=x4 -6x2+4 f(x)=(x+1)4 f(x)=√(4x^3-12x)
Бином Ньютона.[2]
(a+x)n=A0+A1x+A2x2+A3x3+…+Anxn. (1)
Ak=(n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/(1∙2∙3…∙k) a^(n-k) . (2)
Числа (n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/(1∙2∙3…∙k) называют биноминальные коэффициенты и обозначают С_n^k. С_n^k=(n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/(1∙2∙3…∙k). (3)
Подставляя в формулу (1) значения формулы (2) получим формулу бинома Ньютона. (а+х)n=an+C_n^1an-1x+…+C_n^kan-kxk+…+C_n^nxn (4)
№1.Используя формулу (3) вычислить.
С_4^1,С_4^2,С_4^3,С_5^1,С_5^2,С_5^3,С_5^4,С_6^1,С_6^2,С_6^3,С_6^4,С_6^5.
№2.Вычислить :С_5^2+С_7^3+С_6^3, С_10^6-С_8^5+С_(5.)^3
№3.Используя формулу (4) запишите разложение биномов:
(a-x)4; (2+h)5; (x+1)5; (x-1)6; (x-2y)6; (1/2x+3)7; (√(x )-1)5;
(√x+√y)4; (2x- 1/( 2))10.
Некоторые действия над прямыми и обратными тригонометрическими функциями. [1],[5].
Пример 1. Выразить через х алгебраически cos⁡〖(arcsinx).〗
Решение. cos⁡〖(arcsinx)>0〗, так как -π/2≤arcsinx≤π/2.
cos⁡〖(arcsinx)=√(1-sin^2⁡〖(arcsinx)〗 )〗 =√(1-x^2 ).
Пример 2. sin⁡〖(2arctgx)=2 sin⁡〗 (arctgx)cos(arctgx)=2tg(arctgx) cos^2⁡(arctgx)=2tg(arcctgx)/(1+tg^2⁡〖(arcctgx)〗 )=x/(1+√(1-x^2 )).
Вычислите:[4]
№1. sin(π+arcsin 2/3);
№2. cos(π/2+arcsin 1/5);
№3. ctg(π/2+arctg3);
№4. sin(π-arcsin 3/4).
Производные обратных тригонометрических функций.[4]
(arcsinx)'=1/√(1-x^2 ); (arctgx)'=1/(1+x^2 ); (arccosx)' =- 1/√(1-x^2 ); (arcctgx)' =- 1/(1+x^2 ).
Найти производные следующих функций:
y= arctg2x, 2)y= arcctg5x, 3)y= arcsin2x+ arctg3x+ arccos2x+ arcctg3x, 4)y=x3∙ arcctgx, 5)y= (arctg3x)2.
Комплексные числа.[1]
Учащиеся твердо усвоили, что квадратного корня из отрицательного числа не существует. Однако потребности самой алгебры и её приложений требуют такого расширения понятия числа, при котором действие извлечение квадратного корня из отрицательного числа стало бы осуществимым.
Число корень квадратный из -1 принято обозначать буквой i , и числа вида a+bi, где a и b –обычные действительные числа, носят название комплексных чисел.
Основные определения:
1.(a,b)=(c,d) в том и только том случае, если a=c и b=d.
1.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
3.(a,b)∙(c,d)=(ac-bd,ad+bc).
4. (a,0)=a
i2=-1
Комплексные числа a+bi и a-bi ,называют сопряженными. Если a+bi≠0,то
(a+bi)∙( a-bi)=a2+b2.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
a=rcosφ, b=r sinφ. α=a+bi. α=r(cosφ+i sinφ).
Формула Муавра: (cosφ+i sinφ)k=coskφ+isinkφ.
Извлечение корня из комплексного числа.
√(n&α)=r1/n(cos(φ+2kπ)/n+isin (φ+2kπ)/n).
Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
√(a+bi)=±(√((√(a^2+b^2 )+a)/2)+isignb√((√(a^2+b^2 )-a)/)), где signb обозначает знак b, то есть +1, если b>0, и-1, если b<0.
№1. Выполнить сложение комплексных чисел:
1.(3-7i)+(6+5i). 2.(-2+6i)+(-4-8i).
3. (-5+4i)+(5+10i). 4. (1-i)+(3+i).
5. 3i+(7-2i). 6. 5i+8i.
№2. Выполните вычитание комплексных чисел:
(2-4i)- (-7-i). 2.(-8+i) – (9+i).
3.( 10+2i) – (10-i). 4. 6 – (5+2i).
№3.Выполните умножение комплексных чисел:
(3+2i)(2+3i). 2.(-1-i)(-2+2i)/
3.(7- i)(7+i). 4.(-4 – i)(4 – i).
5.(3+i)∙i. 6.i(2 – 4i).
№4. Выполните деление комплексных чисел:
1.(4+6i)/(1-i). 2.(10-i)/(1+i). 3.(1-2i)/(3+i). 4.(-2-3i)/(1-2i).
№5.Вычислите по формуле Муавра:
〖(cos⁡〖π/4〗+i sin⁡〖π/4)〗〗^6. 2.〖(cos⁡15+i sin⁡15)〗^10.

Список литературы.
«Элементы высшей математики для школьников» Д.К. Фадеев, М.С. Никулин, И.Ф. Соколовский. Москва «Наука» 1987 год.
«Алгебра и математический анализ» Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбург. Москва «МНЭМОЗИНА» 2003 год.
«Алгебра и начала анализа» сборник задач А.Е. Алдымуратова, М.И. Есенова, К.Д. Шойынбеков. Алматы «Мектеп» 2006 год.
«Алгебра и начала анализа» математика для техникумов , часть 1,под редакцией Г.Н. Яковлева. Москва «Наука» 1987 год.
«Абитуриенту» тесиовые задания, решения, ответы. К.Н. Бексултанов, К.И. Черенко Кокшетау 2003 год.