Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Наша библиотека

Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика

Грабок С.А., учитель математики ОСШ №25 г. Актобе «Решение иррациональных уравнений нестандартным
[ Скачать с сервера (96.8Kb) ] 2014-01-30, 12:22 PM
Урок математики в 11 классе «Решение иррациональных уравнений нестандартными методами»
Цель:
Расширение математического кругозора;
Развитие познавательной и творческой деятельности учащихся;
Совершенствование умений и навыков работы;
Подготовка к ЕНТ;
Воспитание культуры математического мышления, положительное эмоциональное отношение к учению, математике.
Тип урока – объяснение нового материала
Форма: фронтальная, коллективная, индивидуальная.
Оборудование: интерактивная доска; компьютер; доска; мел; карточка – тест.
Ход урока:
1.Организационный момент.
2.Актуализация знаний.
3.Объяснение новой темы
4. Тест.
5. Подведение итогов.
6.Домашнее задание.

Организационный момент.
Хочу, чтобы наш урок прошел под девизом: «Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н.Толстого.
Актуализация знаний.
Устные упражнения.
Найти область определения функции.
а) у = √(х-3) (х≥3)
б)у = √(х-2)+ √(х+5) (х≥2)
в) у = √(х+1) +√(4-х) (-1≤х≤4)
2. Решите уравнения:
а) √(х-10)+ √(1- х) = -3 нет решения
б) √(х-10)+√(1-х)=0 нет решения
в) √(х-10)+ √(1-х)=6 нет решения

Объяснение новой темы.
Напомним алгоритм решения уравнений и основные методы решения иррациональных уравнений.
Алгоритм решения уравнений.
Методы решения уравнений:
1)Уединение корня в одной из частей уравнения
2)Введение новой переменной
3) а) Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель;
б) «Искусство» или нестандартный метод.
4) Сведение уравнения к системе с помощью введения новой переменной;
5) Выделение полного квадрата;
6) Метод оценки;
7) использование монотонности функций;
8) Использование векторов;
9) Графический способ.
Всегда существовала проблема поддержания у учащихся интереса к изучаемому предмету (материалу), сохранения их активности на протяжении всего урока.
Чтобы возбудить желание учиться, нужно развивать потребность ученика заниматься познавательной деятельностью, чтобы сам процесс учения содержал в себе положительные заряды интереса.
Путь к нему лежит, прежде всего, через разнообразные виды работы, организованную в соответствии с особенностью интереса личностных особенностей учащихся, а также постоянным стремлением к познанию, к более глубоким дыханиям.
Познавательный интерес носит поисковый характер. Под его влиянием у человека постоянно возникают вопросы, ответы на которые он сам постоянно и активно ищет.
Учитывая все это учащимся предлагается материалы и задания не только обязательного уровня обучения, но и задачи, требующие нестандартного решения.
Учащимся предлагается творческая работа по определенной теме, где они на конкретных примерах раскрывают суть решения того или иного нестандартного метода.
На уроках алгебры в 11 классе были рассмотрены решения иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. Так же рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня.
Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения.
В заданиях ЕНТ имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволял решить уравнения проще, быстрее.
Но необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений с целью расширения математического кругозора, осознанной потребности в знаниях, совершенствованию учебных умений и навыков работать с дополнительной научной литературой, интернет – сетью, а также положительного эмоционального отношения к учению математики. Учащимся 11 класса (инициативной группе) было предложено самостоятельно изучить нестандартные методы решения иррациональных уравнений и на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода остальным учащимся класса.
Предоставим им слово:
Графический способ решения:

√(х+4 )=3(х+1)

Построим графики функций(схематически)

у= √(х+4 ) и у = 3(х+1)

х 0 -1
у 3 0



Х ≈ - 0,3.
Метод сведения уравнения n системы с помощью введения новой переменной:

∛(2-х )+√(х-1 )=1 ОДЗ: х≥1
Пусть ∛(2-х ) = а {+█(а^3= 2-х@@в^2=х-1)}
√(х-1 ) = в ( в ≥ 0); а^3+ в^2=1

Имеем : {█(а+в=1@ а^3+ в^2=1) }; {█(в=1-а@ а^3+ (1-а) )^2=1) }

а^(3 )+ 1 – 2а + а^2= 1
а^(3 )+〖 а〗^2- 2а = 0
а (〖 а〗^2 +а -2) = 0
а1 = 0; 〖 а〗^2+а – 2 =0
-1 -2 – а1
-2 1 – а2.
√(█(@@3)&2-х) = 0 √(х-1) = 1
х1 =2 х=2
∛(2-х) = -2 √(х-1)
2 – х = - 8 х – 1 = 9
х2 = 10 х = 10
∛(2-х)=1 √(х-1)
х3 = 1 х=1.
Ответ: 1; 2; 10.
«Искусство» или нестандартный подход:

х^2/(√2х+ 15) + √(2х+15) =2 х х ≠ 0.

т.к х = 0 не является решением данного уравнения. Разделим обе части на х:

х/(√2х+ 15) + √(2х+15)/х =2 ОДЗ: х >0

Замена: х/(√2х+ 15) = t

t + 1/t = 2 t≠ 0 (х^2- 2 х-15)/(2х+15) = 0
t^2- 2t+1=0 х^2- 2 х-15=0
(t – 1 )^2 = 0 2 -3 - х1 2х + 15 >0
t = 1. -15 5 - х2 х > - 7,5.
х/(√2х+ 15) = 1 х=5.
х^2/(2х+ 15) = 1 Ответ: х=5.

Использование монотонности функции:

√(2х-3 )+ √(х-6)=3
Решение:
ОДЗ: {█(2х-3 ≥0@х-6≥0)}; {█(х≥1,5@х≥6)};х ≥6.

Функция у = √(2х-3+ ) √(х+6 ) является возрастающей на промежутке [ 6 ; +∞ ), поэтому данное уравнение имеет не более одного решения. Легко видеть, что при х ≥ 0 получится верное равенство, значит 6 – единый корень исходящего уравнения.

Ответ: х=6.
√(2х+5+ ) √(3х-5 ) = 4
ОДЗ: {█(2х+5 ≥0@3х -5 ≥0)}; х ≥ 5/3.

Функция √(2х+5+ ) √(3х-5 ) = 4 является возрастающей (т.к. сумма 2-х возрастающих функций), а правая часть – постоянная функция => данное уравнение имеет одно решение х = 2.

Ответ: х=2.
Выделение полного квадрата:

√(х^(2 )-4 х+4 )+ √(х^2+ 6 х+9)=5
√((х-2)^2 )+√((х+3)^2 )=5

׀х-2׀ + ׀х+3׀ = 5

т.к ׀х-2׀= ׀2-х׀, (2-х) + (х+3) = 5 =>

׀2-х׀ + ׀х+3׀ = ׀2-х + х+ 3׀

Используя свойства модуля, получим, что данное уравнение равносильно неравенству:

(2-х)(х+3)≥0 =>
-3≤х<2

Ответ: х € [-3; 2].
+ + -


-3 2

Или методом интервала:

х<-3 -3≤х<2 х≥2
2-х-х-3=5 2-х+х+3=5 х-2+х+3=5
-2х-1=5 5=5 2х+1=5
х=3 -3≤х<2 х=2
{______________________________________}

X € [-3;2].
Тест
Решите уравнения:

√(7-х )=х-1

а) 2 б)3 в)4 г)-1 д)7

√(2-х ) •√(1-4х )=х+8

а)- 2 б)1/4 в)2 г)-8 д)-101/3; -2

√(х+3 )-√(7-х )=2

а)- 3 б)4 в)5 г)7 д)6

√(3+√(5-х ) )=х

а) 3 б)5 в)4 г)1 д)1;4

4√(3- 1/х )- √(х/(3х-1) ) = 3

а) 1/2 б) 1/3 1/4 в) г)2 д)3

Тест (Решения)

√(7-х )=х-1 ОДЗ: х-1 ≥0
7 – х = х²-2х+1 х≥1
х²- х-6 = 0
1 -2 - х1 х Ø ОДЗ
-6 3 - х2
Ответ: 3.

√(2-х ) •√(1-4х )=х+8 ОДЗ: х ≥-8
√(2-8х-х+4х² )=х+8
√(4х²-9х+2 )=х+8
4х²-9х+2=х²+16х+64
3х²-25х-62=0
25 31/3 = -10 1/3 Ø ОДЗ
-86 -6/3 = -2
Ответ: -2

√(х+3 )-√(7-х )=2 ОДЗ: {█(х≥-3@х≤7)┤=>-3≤х≤7
√(х+3 )=2+ √(7-х )
Х+3 = 4+4√(7-х )+7-х
2х-8=4√(7-х )
Х-4=2√(7-х )
Х-4=14-2х
3х=18
Х=6
Ответ: х=6

√(3+√(5-х ) )=х {█(х≥3@х≤5)┤=>[3;5]
3+√(5-х )= х
√(5-х )=х-3
5-х= х²-6х+9
х²-5х+4=0
5 1 - х1
4 4 - х2.
Ответ: 4.

4√(3- 1/х )- √(х/(3х-1) ) = 3 ОДЗ: х/(3х-1)>0
4 √((3х-1)/х )-√(х/(3х-1) )=3 + - +
0 1/3
4t -1/t -3 =0 (t>0)
(4t²-3t-1)/t = 0 (t ≠0) ⟦█(х<0@х>1/3)┤
4t² - 3t -1=0

3 -1/4 - t1 Ø усл. t >0
-4 1 - t2

РУЗ: √((3х-1)/х ) = 1
3 - 1/х = 1
1/х = 2
Х = 1/2
Ответ: 1/2
Подведение итогов.

Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна. Иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:
Равноускоренное движение
1 и 2 космические скорости
Среднее значение скорости теплового движения молекул
Период радиоактивного полураспада и др.
А также иррациональные уравнения использует статистика

«Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!»

Домашнее задание:
Решить уравнения:

√(х-2)+ ∛(11-х)=1
√(7-х )=х+1
1-х² = √х
√(х+5-4√(х+1)) + √(х+10-6√(х+1)) =1
√(х+2√(х-1)- √(х-2√(х-1)) ) =3
Категория: Математика | Добавил: ирэн
Просмотров: 454 | Загрузок: 86 | Комментарии: 3 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Пятница, 2016-12-09, 2:39 PM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Психология [165]
Педагогика [291]
Математика [779]
Физика [242]
История [335]
Классному руководителю [519]
Русский язык и литература [697]
Физическая культура [200]
Английский язык [409]
Искусство [181]
Родительский совет [14]
Биология [319]
Информатика [366]
Начальная школа [1873]
Мой Казахстан [238]
Технология [126]
Самопознание [171]
Технология труда [49]
Персональная рубрика учителя технологии труда Шукурова Суюнгали Сагинтаевич. Западно-Казахстанская область,Жанибекский район,СОШ имени Т.Жарокова
НВП и ОБЖ [40]
Профессиональное образование [155]
Дошколенок [463]
География [129]
Школьная библиотека [48]
Казахский язык и литература [544]
Химия [33]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru