Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Наша библиотека
| Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика |
Грабок С.А., учитель математики ОСШ №25 г. Актобе «Решение иррациональных уравнений нестандартным
| [ Скачать с сервера (96.8 Kb) ] | 2014-01-30, 12:22 PM |
| Урок математики в 11 классе «Решение иррациональных уравнений нестандартными методами» Цель: Расширение математического кругозора; Развитие познавательной и творческой деятельности учащихся; Совершенствование умений и навыков работы; Подготовка к ЕНТ; Воспитание культуры математического мышления, положительное эмоциональное отношение к учению, математике. Тип урока – объяснение нового материала Форма: фронтальная, коллективная, индивидуальная. Оборудование: интерактивная доска; компьютер; доска; мел; карточка – тест. Ход урока: 1.Организационный момент. 2.Актуализация знаний. 3.Объяснение новой темы 4. Тест. 5. Подведение итогов. 6.Домашнее задание. Организационный момент. Хочу, чтобы наш урок прошел под девизом: «Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н.Толстого. Актуализация знаний. Устные упражнения. Найти область определения функции. а) у = √(х-3) (х≥3) б)у = √(х-2)+ √(х+5) (х≥2) в) у = √(х+1) +√(4-х) (-1≤х≤4) 2. Решите уравнения: а) √(х-10)+ √(1- х) = -3 нет решения б) √(х-10)+√(1-х)=0 нет решения в) √(х-10)+ √(1-х)=6 нет решения Объяснение новой темы. Напомним алгоритм решения уравнений и основные методы решения иррациональных уравнений. Алгоритм решения уравнений. Методы решения уравнений: 1)Уединение корня в одной из частей уравнения 2)Введение новой переменной 3) а) Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель; б) «Искусство» или нестандартный метод. 4) Сведение уравнения к системе с помощью введения новой переменной; 5) Выделение полного квадрата; 6) Метод оценки; 7) использование монотонности функций; 8) Использование векторов; 9) Графический способ. Всегда существовала проблема поддержания у учащихся интереса к изучаемому предмету (материалу), сохранения их активности на протяжении всего урока. Чтобы возбудить желание учиться, нужно развивать потребность ученика заниматься познавательной деятельностью, чтобы сам процесс учения содержал в себе положительные заряды интереса. Путь к нему лежит, прежде всего, через разнообразные виды работы, организованную в соответствии с особенностью интереса личностных особенностей учащихся, а также постоянным стремлением к познанию, к более глубоким дыханиям. Познавательный интерес носит поисковый характер. Под его влиянием у человека постоянно возникают вопросы, ответы на которые он сам постоянно и активно ищет. Учитывая все это учащимся предлагается материалы и задания не только обязательного уровня обучения, но и задачи, требующие нестандартного решения. Учащимся предлагается творческая работа по определенной теме, где они на конкретных примерах раскрывают суть решения того или иного нестандартного метода. На уроках алгебры в 11 классе были рассмотрены решения иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. Так же рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня. Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях ЕНТ имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволял решить уравнения проще, быстрее. Но необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений с целью расширения математического кругозора, осознанной потребности в знаниях, совершенствованию учебных умений и навыков работать с дополнительной научной литературой, интернет – сетью, а также положительного эмоционального отношения к учению математики. Учащимся 11 класса (инициативной группе) было предложено самостоятельно изучить нестандартные методы решения иррациональных уравнений и на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода остальным учащимся класса. Предоставим им слово: Графический способ решения: √(х+4 )=3(х+1) Построим графики функций(схематически) у= √(х+4 ) и у = 3(х+1) х 0 -1 у 3 0 Х ≈ - 0,3. Метод сведения уравнения n системы с помощью введения новой переменной: ∛(2-х )+√(х-1 )=1 ОДЗ: х≥1 Пусть ∛(2-х ) = а {+█(а^3= 2-х@@в^2=х-1)} √(х-1 ) = в ( в ≥ 0); а^3+ в^2=1 Имеем : {█(а+в=1@ а^3+ в^2=1) }; {█(в=1-а@ а^3+ (1-а) )^2=1) } а^(3 )+ 1 – 2а + а^2= 1 а^(3 )+〖 а〗^2- 2а = 0 а (〖 а〗^2 +а -2) = 0 а1 = 0; 〖 а〗^2+а – 2 =0 -1 -2 – а1 -2 1 – а2. √(█(@@3)&2-х) = 0 √(х-1) = 1 х1 =2 х=2 ∛(2-х) = -2 √(х-1) 2 – х = - 8 х – 1 = 9 х2 = 10 х = 10 ∛(2-х)=1 √(х-1) х3 = 1 х=1. Ответ: 1; 2; 10. «Искусство» или нестандартный подход: х^2/(√2х+ 15) + √(2х+15) =2 х х ≠ 0. т.к х = 0 не является решением данного уравнения. Разделим обе части на х: х/(√2х+ 15) + √(2х+15)/х =2 ОДЗ: х >0 Замена: х/(√2х+ 15) = t t + 1/t = 2 t≠ 0 (х^2- 2 х-15)/(2х+15) = 0 t^2- 2t+1=0 х^2- 2 х-15=0 (t – 1 )^2 = 0 2 -3 - х1 2х + 15 >0 t = 1. -15 5 - х2 х > - 7,5. х/(√2х+ 15) = 1 х=5. х^2/(2х+ 15) = 1 Ответ: х=5. Использование монотонности функции: √(2х-3 )+ √(х-6)=3 Решение: ОДЗ: {█(2х-3 ≥0@х-6≥0)}; {█(х≥1,5@х≥6)};х ≥6. Функция у = √(2х-3+ ) √(х+6 ) является возрастающей на промежутке [ 6 ; +∞ ), поэтому данное уравнение имеет не более одного решения. Легко видеть, что при х ≥ 0 получится верное равенство, значит 6 – единый корень исходящего уравнения. Ответ: х=6. √(2х+5+ ) √(3х-5 ) = 4 ОДЗ: {█(2х+5 ≥0@3х -5 ≥0)}; х ≥ 5/3. Функция √(2х+5+ ) √(3х-5 ) = 4 является возрастающей (т.к. сумма 2-х возрастающих функций), а правая часть – постоянная функция => данное уравнение имеет одно решение х = 2. Ответ: х=2. Выделение полного квадрата: √(х^(2 )-4 х+4 )+ √(х^2+ 6 х+9)=5 √((х-2)^2 )+√((х+3)^2 )=5 ׀х-2׀ + ׀х+3׀ = 5 т.к ׀х-2׀= ׀2-х׀, (2-х) + (х+3) = 5 => ׀2-х׀ + ׀х+3׀ = ׀2-х + х+ 3׀ Используя свойства модуля, получим, что данное уравнение равносильно неравенству: (2-х)(х+3)≥0 => -3≤х<2 Ответ: х € [-3; 2]. + + - -3 2 Или методом интервала: х<-3 -3≤х<2 х≥2 2-х-х-3=5 2-х+х+3=5 х-2+х+3=5 -2х-1=5 5=5 2х+1=5 х=3 -3≤х<2 х=2 {______________________________________} ⇓ X € [-3;2]. Тест Решите уравнения: √(7-х )=х-1 а) 2 б)3 в)4 г)-1 д)7 √(2-х ) •√(1-4х )=х+8 а)- 2 б)1/4 в)2 г)-8 д)-101/3; -2 √(х+3 )-√(7-х )=2 а)- 3 б)4 в)5 г)7 д)6 √(3+√(5-х ) )=х а) 3 б)5 в)4 г)1 д)1;4 4√(3- 1/х )- √(х/(3х-1) ) = 3 а) 1/2 б) 1/3 1/4 в) г)2 д)3 Тест (Решения) √(7-х )=х-1 ОДЗ: х-1 ≥0 7 – х = х²-2х+1 х≥1 х²- х-6 = 0 1 -2 - х1 х Ø ОДЗ -6 3 - х2 Ответ: 3. √(2-х ) •√(1-4х )=х+8 ОДЗ: х ≥-8 √(2-8х-х+4х² )=х+8 √(4х²-9х+2 )=х+8 4х²-9х+2=х²+16х+64 3х²-25х-62=0 25 31/3 = -10 1/3 Ø ОДЗ -86 -6/3 = -2 Ответ: -2 √(х+3 )-√(7-х )=2 ОДЗ: {█(х≥-3@х≤7)┤=>-3≤х≤7 √(х+3 )=2+ √(7-х ) Х+3 = 4+4√(7-х )+7-х 2х-8=4√(7-х ) Х-4=2√(7-х ) Х-4=14-2х 3х=18 Х=6 Ответ: х=6 √(3+√(5-х ) )=х {█(х≥3@х≤5)┤=>[3;5] 3+√(5-х )= х √(5-х )=х-3 5-х= х²-6х+9 х²-5х+4=0 5 1 - х1 4 4 - х2. Ответ: 4. 4√(3- 1/х )- √(х/(3х-1) ) = 3 ОДЗ: х/(3х-1)>0 4 √((3х-1)/х )-√(х/(3х-1) )=3 + - + 0 1/3 4t -1/t -3 =0 (t>0) (4t²-3t-1)/t = 0 (t ≠0) ⟦█(х<0@х>1/3)┤ 4t² - 3t -1=0 3 -1/4 - t1 Ø усл. t >0 -4 1 - t2 РУЗ: √((3х-1)/х ) = 1 3 - 1/х = 1 1/х = 2 Х = 1/2 Ответ: 1/2 Подведение итогов. Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна. Иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы: Равноускоренное движение 1 и 2 космические скорости Среднее значение скорости теплового движения молекул Период радиоактивного полураспада и др. А также иррациональные уравнения использует статистика «Да, мир познания не гладок. И знаем мы со школьных лет Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет!» Домашнее задание: Решить уравнения: √(х-2)+ ∛(11-х)=1 √(7-х )=х+1 1-х² = √х √(х+5-4√(х+1)) + √(х+10-6√(х+1)) =1 √(х+2√(х-1)- √(х-2√(х-1)) ) =3 | |
| Просмотров: 894 | Загрузок: 87 | Комментарии: 3 | | |
Среда, 2024-04-24, 10:32 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Категории раздела | |||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|