Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Наша библиотека

Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика

Способы решения тригонометрических уравнений
2015-02-20, 6:01 AM
Город Астана
Школа-гимназия № 22
Разработка открытого урока
учителя ІІ квалификационной категории
Мухаметжановой Гаухар Саулебековны.
План урока
Предмет: Алгебра и начала анализа Класс: 10 «г» Дата: 06.12.2014
Тема: Способы решения тригонометрических уравнений
Это урок №3 Из трех уроков по этой теме
Цель урока: Уметь решать тригонометрические уравнения
Задачи урока: Образовательные : повторить, обобщить, систематизировать и углубить знания о методах решения тригонометрических уравнений.
Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически излагать мысли, делать выводы, расширять кругозор.
Воспитательные: воспитание ответственности, активности, побуждению интереса к математике, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Ход урока
Этап Время Деятельность учителя Деятельность учащихся Оценивание Ресурсы, оборудование
Организационный момент 5 мин 1Деление на группы(по определениям по теме урока)
2Психологический настрой(«Историческая личность» Учитель кладет в коробку зеркало и предлагает поздороваться с личностью в коробке. Итог: Вы «ЛИЧНОСТЬ», Сегодняшний урок останется в истории Вашей жизни, истории класса и школы. Давайте, напишем историю сегодня так, чтобы нам небыло стыдно за нее завтра»)
3Постановка целей и задач урока через тему урока.
Формируют группы произвольного характера
2настраиваются на продуктивный урок
Савят цель и задачи урока - Определения на корточках-лоскутках
Зеркало в коробке
Вызов 10 мин «Дерево предсказаний»
Преобразование тригонометрическими формулами:sin⁡х+sin⁡2х+sin⁡3х=0
Понижение степени уравнения:
cos^2⁡х+cos^2⁡2х+sin^2⁡3х+cos^2⁡4х=2
Однородные тригонометрические уравнения:
6 sin^2⁡х-3 sin⁡х cos⁡х-cos^2⁡х=1 Решают уравнение на стволах деревьев в группе по определенному методу и защищают постер в виде дерева. Где решая каждое тригонометрическое уравнение, рассказывают об определенном методе.

Оценка группы, формативное оценивание работы группы Деревья на плакатах
Здоровьесберегающий элемент 2 мин Сядьте поудобнее на стуле, запрокиньте ногу на колено, придержите ее руками, закройте глаза. Это поза бесконечности. Сосредоточьтесь над знаком бесконечность – вытянутая горизонтальная восьмерка. Она находиться над вашим теменем, плавно колеблется над вашей головой. Вы это ярко представили. Постарайтесь удержать это изображение в вашем мысленном образе в течении нескольких секунд. (Пауза – молчание в течении 5 секунд). Спасибо! Откройте глаза, ребята. Когда человек сталкивается с бесконечностью, он невольно задумывается о своем здоровье.
Выполняют задания учителя Формативное оценивание
Осмысление 20 мин 1 парная работа

2. индивидуальные уровневые задания (см. Решение Приложение 1)
Уровень А
Пример 1
cos ,
Пример 2


Уровень В
Пример 1

Решить уравнение: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0
Пример2 :
cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Уровень С
Пример 1.
Решить уравнение:



Пример 2
Решить уравнение:

1обсуждая ход решения, решают уравнения в парах
2. выбирая уровень сложности, решают задания взаимооценивание
самооценивание Карточки-задания
Уровневые карточки
А-синий цвет
В-желтый цвет
С-красный цвет карточек
Рефлексия 7мин «МОЙ БАГАЖ ЗНАНИЙ» 1 Учащиеся на стикерах записывают то что : «Заберут с собой», « нужно перекрутить», «было лишним» и вывешивают на доске
2 Каждая группа оценивает цветными яблоками урок на своих деревьях Формативное оценивание Рисунки корзины, чемодана и мясорубки
Домашняя работа 1 мин Решить № А115, В 124. С.131
Подготовить «тонкие» и «толстые» вопросы
Применение тригонометрических уравнений в других областях. Мини доклад. Записывают в дневниках
Историческая справка Творческое домашнее задание прошлого урока.Заранее подготовившиеся ученики выступают с исторической справкой. (См, приложение 2) Слушают учителя
Заключительное слово учителя: Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в математике. Тригонометрические уравнения необходимы при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий на ЕНТ

Приложение 1. (уровневые задания)
Уровень А
Пример 1
cos ,
cos ,

X=± .Р
Пример 2


Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).

В результате замены получим: t2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.

x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Уровень В
Пример 1
Решить уравнение: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0
2 cos2(x) - 3 cos(x) -2 = 0
введем замену t=cos(x): 2t2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Пример2 :
cos2(x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Уровень С
Пример 1.
Решить уравнение:


Преобразуем наше выражение:


Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Пример 2
Решить уравнение:
Ответ:
Приложение 2. Историческая справка:
Происхождение слова: Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505г в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происходит от греческих слов «треугольник» и «мера»,и это наука об измерении треугольников. Хотя название возникло относительно недавно, многие ее понятия и факты были известны уже две тысячи лет назад.
Древняя Греция: Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме
Как тригонометрия дошла до нашего времени: В 8 в. Учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный Аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.
Современный вид: Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик восемнадцатого столетия Л. Эйлер. Он ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. Различные факты стали доказываться путем применения формул, доказательства стали компактнее и проще. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.
Применение в геодезии: Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников, тригонометрия дает мощный метод решения геометрических задач. Чтобы воспользоваться им, строители туннелей намечают геодезический пункт, откуда видны концы туннеля. Затем они визируют направления и определяют углы между ними. Математический принцип предельно прост.
Применение в астрономии: На сфере, как и на поверхности Земли, о расстояниях можно судить по углам под которыми они видны из центра сферы.Положению точки на поверхности Земли определяются ее широтой (углом отсчитываемым от экватора) и долготой. Это дает мореплавателю расстояние и курсовой угол. Астрономы определяют положение звезд при помощи таких сферических небесных треугольников.
Категория: Математика | Добавил: Гаухар3351
Просмотров: 321 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Пятница, 2016-12-09, 8:24 PM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Психология [165]
Педагогика [291]
Математика [779]
Физика [242]
История [335]
Классному руководителю [519]
Русский язык и литература [697]
Физическая культура [200]
Английский язык [409]
Искусство [181]
Родительский совет [14]
Биология [319]
Информатика [366]
Начальная школа [1873]
Мой Казахстан [238]
Технология [126]
Самопознание [171]
Технология труда [49]
Персональная рубрика учителя технологии труда Шукурова Суюнгали Сагинтаевич. Западно-Казахстанская область,Жанибекский район,СОШ имени Т.Жарокова
НВП и ОБЖ [40]
Профессиональное образование [155]
Дошколенок [463]
География [129]
Школьная библиотека [48]
Казахский язык и литература [544]
Химия [33]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru