| Екібастұз қаласының білім беру басқармасы / Управление образования города Экибастуз
МКМ «Екібастұз қаласының №7 гимназия-мектебі» / КГУ «Школа-гимназия №7» г. Экибастуза
Приёмы быстрых вычислений
на уроках математики
Составитель: Молдагалиева Н.Е.
2016 год
Пояснительная записка
Давно забыты те времена, когда наши учащиеся с удовольствием считали устно, с азартом соревнуясь в скорости быстрого устного счёта. Взамен устному счёту пришло бездумное пассивное нажатие на кнопки калькулятора. Наблюдать за этим грустно.
И всё-таки, начиная уроки у пятиклассников, хочется привить ребятам умения устного счёта, познакомить их с давно забытыми, но вполне приемлемыми приёмами быстрого счёта.
Надеюсь, что учителя математики, работающие в среднем звене, сочтут возможным применение предложенных приёмов быстрых вычислений на уроках и во внеурочное время.
Цели данного пособия:
-развивать вычислительные навыки учащихся;
-прививать учащимся интерес и любовь к математике;
-расширять кругозор учащихся;
- помочь учителям математики в подборе материала для организации
устного счёта на уроках и во внеурочное время.
Интересные свойства числа 9
Способ умножения однозназначных чисел на 9
Ещё в глубокой древности люди использовали способ умножения однозначных чисел на 9 с помощью пальцев. Развернув кисти рук ладонью к себе, они загибали палец, соответствующий числу, умножаемому на 9. При этом количество пальцев слева до согнутого пальца соответствует десяткам, а число пальцев после согнутого пальца – единицам. Например, чтобы 9 умножить на 6 достаточно повернув руки ладонями к себе отcчитать слева направо пять пальцев, а шестой согнуть. При этом до согнутого пальца 5 пальцев, а после него, 4 пальца, т.е. в произведении 5 десятков и 4 единицы: 9×6=54.
Способ составления таблицы умножения на9
Чтобы составить таблицу умножения на 9, нужно поступить следующим образом.
1.Записать левую колонку до знака равенства таблицы умножения (произведение натуральных чисел до 10 на число 9): (полный текст см в загруженном файле)
2.Теперь записать в первую колонку после знака равенства цифры от 0 до 9 : (полный текст см в загруженном файле)
3.Приписав теперь колонку наоборот от 9 до 0, получим таблицу умножения на
(полный текст см в загруженном файле)
Ещё несколько свойств числа 9
1.Если от любого числа отнять сумму его цифр, то всегда получится число, которое делится на 9
Например: 48 – (4+8) = 48 - 12 = 36, 36:9=4
79 – (7+9) = 79 - 16 = 63, 63:8 =7
2.Если в заданном числе переставить цифры и найти разность полученного и исходного чисел, то эта разность всегда делится на 9.
Например: 82 -28 =54, 54 : 9 =6 или 61-16 = 45, 45:9=5
Некоторые приёмы умножения двухзначных чисел
Быстрое умножение двузначных чисел на 11
Повторяя умножение рациональных чисел, можно познакомить пятиклассников с приёмом быстрого умножения двузначных чисел на 11. Времени это займёт немного, а ребята с удовольствием будут его применять в дальнейшем.
Чтобы двузначное число умножить на 11, нужно: 1.сложить цифры, составляющие данное число; 2. если сумма меньше десяти, его нужно записать между цифрами единиц и десятков данного числа. Полученное при этом число и есть произведение данного числа на 11.
Например, найдём произведение числа 62 на 11; а) 6+2=8; б) раздвинув цифры 6 и 2 и поставив между ними значение их суммы ,т.е число 8, получим произведение 62 на 11. Это произведение равно 682.
2.Если сумма цифр двузначного числа, которое нужно умножить на 11, оказалось больше десяти, то полученную единицу десятков прибавляем к разряду сотен, а цифру, полученную в разряде единиц запишем в разряд десятков(между сотнями и единицами).
Например, умножим 98 на 11. а) 9+8=17 б) раздвинув цифры данного числа, поставим между 9 и 8 цифру 7, получим 978 ;
в) прибавив к 9 число 1, получим (9+1)78=1078.
Таким образом, легко посчитать:
54х11=5(5+4)4=594 71х11=7(7+1)1=781 78х11=7(7+8)1=7(15)1=(7+1)51=851
Этот способ упрощает умножение чисел на 22,33,44 и т.д.
Например:
22х24=2х (11х24) =2х264=528
Устное умножение чисел, близких к числу 100
Считается, что перемножить устно два числа, близкие к 100, сложно, но на самом деле, выучив алгоритм действий, сделать это очень просто.
Рассмотрим устное умножение чисел, близких к 100 на примере умножения чисел 97 и 89.
1) отнять от ста каждый множитель: 100 – 97 =3; 100- 89 =11. Таким образом, 3 –дополнение первого множителя, а 11- дополнение второго множителя до 100
2)отнять от первого множителя дополнение второго множителя до ста или, наоборот, от второго множителя отнять дополнение первого множителя до ста: 97 -11 = 86 или 89-3 =86. 3)Полученную разность умножить на 100: 86х100=8600
4) перемножить дополнения до ста чисел 97 и 86: 11х3 =33
5)результаты второго и третьего действий сложить: 8600+33=8633
Рассмотрим ещё пример устного умножения чисел близких к 100 (например,102х97):
1. 100-97 =3 и 102-100=2; (т.к. второй множитель больше, чем 100, нам пришлось, наоборот, от второго множителя отнять 100, поэтому во втором действии вместо вычитания от первого числа дополнения второго, выполним сложение, а в пятом действии вместо сложения выполним вычитание)
2. 97 + 2 =97+2=99 или 102-3 = 99
3. 99х100 =9900
4. 9900 - 2х3 =9900 -6=9894
Быстрое умножение чисел от 10 до 20
(Рассмотрим на примере перемножения чисел 12 и 16)
Чтобы перемножить числа, большие 10, но меньшие 20, нужно:
1. К одному из чисел прибавить единицы второго:12+6=18
2. Полученный результат умножить на 10:18х10= 180
3. Перемножить единицы данных чисел: 2х6=12
4. Результаты второго и третьего действий сложить: 180+12 =192
Мы получили: 12х16 = 192
Умножение двузначных чисел способом «молнии»
Этим способом пользовались в древности индусы.
Суть этого способа рассмотрим на примере перемножения чисел 24 и32
Чтобы перемножить двузначные числа, нужно:
1 Перемножить единицы данных чисел: 4х2=8
2 Полученное произведение записываетсяна последнее место, в разряд единиц. - - 8
3 Цифру десятка в записи первого числа умножить на цифру единиц в записи второго числа и наоборот, цифру десятка в записи второго числа умножить на цифру единиц в записи первого числа: 2х2 =4;
3х4 =12;
4 Полученные произведения сложить : 4+12 =16.
5 Перемножив цифры десятков, припишем к полученному произведению цифру 0 2х3 =6 , приписываем 0, получаем 60.
6 Сложив результаты второго и третьего действий, и приписав цифру единиц, полученную в первом действии, получим: (60+16)8 = = 768
Итак, мы получили: 24х 32 = 768
Приёмы устного возведения чисел в квадрат
При изучении темы «Степень числа» можно ребят познакомить со следующими способами возведения чисел в квадрат.
1. Возведение в квадрат чисел, близких к 50.
Как устно возвести в квадрат числа, близкие к 50? Рассмотрим способ возведения в р:
1.Отнять от числа, возводимого в квадрат, число 25 1. Отнимем от 47 число 25: 47-25=22
2.Полученную разность умножить на 100: 2. 22×100=2200
3. От 50 отнять возводимое в квадрат число 3. 50-47=3,
4.Полученый результат возвести в квадрат 4. 3 =9
5.Числа, полученные во втором и четвёртом действиях, сложить 5.2200+92209Мы получили: =2209
Аналогично: = (58-25)×100 +( =3300+64=3364; Конечно, этот способ можно применять при возведении в квадрат чисел, значительно больших , чем 50 . Например: = (65-25)х100+ =4000+ = 4000+225=4225; = (109-25)х100 + =8400+ =8400+3481=11881, но в этом случае для нахож-дения квадрата разности заданного числа и 50 нужно использовать таблицу квад-ратов чисел до 100, с которой они знакомятся позже, поэтому пятиклассникам доста-точно запомнить и применять алгоритм возведения в квадрат чисел, близких к 50
2. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающее цифрой 5, нужно число, образованное цифрами, стоящими до цифры 5 умножить на число на 1 большее полученного числа. К полученному результату просто приписываем число 25. Рассмотрим алгоритм возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, на примере нахождения квадрата числа 205. 1.Убрав последнюю цифру 5, получим число 20; 2.Числом на 1 большим, чем 20, является число 21 3.Умножив 20 на 21, получаем 420 4.Приписав к 420 число 25, получаем, что =42025
Аналогично: а)3 25=(3х4)25=1225; б) г)
3.Нахождение квадратов чисел, близких к числам, квадраты которых легко вычислить.
Пятиклассники легко вычисляют квадраты «круглых» чисел, поэтому можно их познакомить с возведением в квадрат чисел, близких к тем числам, квадраты которых известны.
Возведение в квадрат числа на 1 или 2 большего того числа, квадраткоторого известен
1. Чтобы возвести в квадрат число на 1 большее, чем число, квадрат которого известен, нужно к известному квадрату прибавить сумму возводимого в квадрат числа и числа на 1 меньшего.
Например: = +(51+50)=2500+101=2601; = +(101+100)=10000+201=10201;
Возведение в квадрат числа на 2 большего того числа, квадрат которого известен.
К известному квадрату «круглого» числа прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньшего. Например: = +2×(52+50)=2500+2×102=2500+204=2704; = +2х(92+90)=8100+2х182=8100+364=8464
Возведение в квадрат числа на 1 или 2 меньшего того числа, квадрат которого известен
1. Чтобы возвести в квадрат число, на 1 меньшее числа, квадрат которого известен, нужно: от известного квадрата отнять сумму числа, квадрат которого нужно вычислить и числа, на 1 большего, чем это число (числа, квадрат которого известен), . Например: = - (14+15)=225-29=196; = - (29+30)=900-59=841
2. Чтобы возвести в квадрат число на 2 меньшее, чем число, квадрат которого известен, нужно из квадрата «круглого числа» отнять удвоенную сумму данного числа и «круглого» числа. Например: х (68+70)=4900 – 2х138=4900- 276= 4624 × (23+25) =625 -2×48 =625-96=529
Быстрый счёт через известные значения произведений и частных
Иногда полезно пятиклассникам предлагать запоминание значений некоторых произведений и частных с целью применения в дальнейшем при выполнении определённых заданий.
Запомни!
125 х 8 = 1000
Использовать это равенство удобно ь при обращении десятичных дробей в обыкновенные, и наоборот, обыкновенных дробей в десятичные, при перемножении чисел, кратных числам 8 и 125, а также при переводе величин из одних единиц измерения в другие .Пример 1. Записать обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:
= = = 0,375
Пример 2. Перевести десятичную дробь в обыкновенную:
Пример 3. Переведите в десятичную дробь заданную длину и выразите её в км:
м = = = 0,024 (км)
Запомни!
37 х 3 = 111
1. Запомнив, что 37х3 = 111, пятиклассники с помощью распределительного свойства умножения легко сумеют посчитать, что 37х6 =37х(3х2)=(37х3)х2 =111х2=222; 37х18=37х(3х6)=(37х3)х6=111х6=666
2. Это поможет при умножении произведения 37х3 на двузначные числа с повторяющимися цифрами 11, 22,33,44. При этом достаточно между цифрами числа, умножаемого на 37 записать их удвоенное значения: 37х3х44 = 111х44=4884; 37х 3х33 =111х33=3663
3. Равенство 37х3=111 удобно применить при умножении 37 на числа, кратные 3:
37х120=111х40=4440, 37х186=37х3х62=111х62=6660+222=6882;
37х285=37х3х95=111х95=9990+555=10545
37х15=37х3х5=555; 37х18=37х3х6=666; 37х21 =37х3х7=111х7=777
Ты знаешь, что :
10:2 =5; 10:5=2; 100:2=50;100:25=4; 1000 :4=250; 1000:8=125;1000:125=8
Упрости свои вычисления с помощью этих равенств!
Например:
1. Чтобы умножить число на 5, можно умножить его на 10 и полученный результат разделить на 2:
128х5=128х(10:2) =(128х10):2=1280:2 =640
2. Чтобы число умножить на 25, можно его умножить на 100 и полученный результат разделить на 4:
48х25= 48х(100:4)=(48х100):4=4800:4=1200
3. Чтобы число умножить на 50, можно его умножить на 100 и полученныйрезультат разделить на 2:
264х50=264х(100:2)=(264х100):2=26400:2=13200
3. Чтобы число умножить на 125, можно его умножить на 1000 и полученный результат разделить на 8:
32х125=32х(1000:8)=(32х1000):8=32000:8=4000
Быстрый способ умножения на 25
Чтобы умножить число на 25, можно:
1. его десятки, сотни, тысячи ь т.д. разделить на 4 и сложить.
2. К полученному результату приписать число, полученное при умножении единиц данного числа на 25.
Например:
1)243х25= (3х25) =(50+10)75=6075;
2)8426х25=(8000:4+400:4+20:4)(6х25)=(2000+100+5)(150)=(2105+100)50=210650 .
В данном случае произведение числа 25 и единиц заданного числа больше 100 , т.к.25х6=150= 100+50, поэтому 100 прибавляется к сотням полученного результата, а 50 приписывается к нему.
Иногда перевод десятичных дробей в обыкновенные упрощает вычисления.
0,25 = =
Поэтому:
1) Чтобы данное число умножить на 0,25, можно разделить его на 4 .
Например: а)48х 0,25 = 48 : 4 =12; 6) 120х0,25 = 120:4 = 30
2) Чтобы данное число разделить на 0,25, достаточно умножить его на 4.
Например: а) 6: 0,25 = 6х4 = 24; б) 13:0,25 = 13х4 =52
0,5 = =
Поэтому:
1) Чтобы данное число умножить на 0,5, можно разделить его на 2.
Например: а) 86х0,5 =86:2=43; б) 308х0,5 =308:2 =154
2)Чтобы данное число разделить на 0,5, достаточно умножить его на.
Например: а) 63:0,5 = 63х2 =126; б)213:0,5 =213х2 =426
0,75 = =
Поэтому:
1) Чтобы данное число умножить на 0,75, можно разделить его на 4 и полученный результат умножить на 3.
Например: а)28х 0,75 = 28 : 4х3 =7х3=21; 6) 160х0,75 = 160:4х3 = 40х3=120
2) Чтобы данное число разделить на 0,75, достаточно разделить его на 3 и полученный результат умножить на 4.
Например: а) 150: 0,75 = 150:3х4 = 50х4=200; б) 27:0,75 = 27:3х4 =36
Признаки делимости чисел
Рассматривая признаки делимости чисел на 2,3,5,9, 10 можно дополнительно на кружковых занятиях познакомить ребят с признаками делимости чисел на простые числа 7,11, 13.
Признак делимости чисел на 11
Чтобы определить делится ли число на 11, нужно:
1. а) сложить цифры данного числа, стоящие на чётных местах и отдельно цифры, стоящие на нечётных местах. Если при этом получилась одна и та же сумма, то число делится на 11
2. б) если суммы разные, то найти разность полученных сумм. При этом, если эта разность делится на 11, то и само число делится на 11.
Например: определить какие из чисел 2783, 92154, 457823956 делятся, а какие не делятся на 11?
1. Возьмём число 2783. А) 2+8=10; б) 7+3=10. Так как получилась одна и та же сумма 10, то число 2783 делится на 11 по первому признаку
2. Выясним, делится ли на 11 число 90816. А)9+8+6=23; б)0+1=1;в)23 – 1 =22
Так как разность 22 делится на 11, то число 90816 делится на 11 по второму признаку.
3. 4+7+2+9+6 =28; 5+8+3+5 =21; 28 -21 =7 .Т.к. 7 не делится на 11, то число 457823956 не делится на 11
Примечание: этот признак делимости на 11 можно применять и для определения делимости чисел на 7 и 13
Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13
1 признак .
Если разность сумм цифр данного числа взятых через одну делится на 7,11 и 13, то и само число делится на 7,11 и 13.
Определим, делится ли число 91358, 8091923 на 7,11 и 13
1) 9+3+8=20; 2)1+5=6; 3) 20-6=14 –делится на 7. Число 91358 делится на 7
1) Сложим цифры, стоящие на первом , третьем и пятом местах: 8+9+9+3 =29;
2) Сложим цифры, стоящие на втором, четвёртом и шестом местах: 0+1+2=3;
3) Отнимем от первой суммы вторую: 29-3=26.Так как полученная разность делится на 13, но не делится на 7 и 11, зачит, число 8091923 делится на 13, но не делится на 7 и 11.
2 признак
Для рассмотрения 2 признака делимости числа на 7,11,13 необходимо познакомиться с разбиеием числа на грани. Разбиение числа на грани – это разбиение его на классы справа налево (класс единиц,класс тысяч, класс миллионов и т.д ). Цифры, стоящие в каждом классе, – грани данного числа.
Например, если число 5926314529 разбить по три цифры справа, выясняется, что у него 4 грани: 5 и 314 – нечётные, а 926 и 529 – чётные грани (5/ 926/ 314/ 529)
2 признак. Если разность сумм граней заданного числа, взятых через одну делится на 7, 11 или 13, то и само число делится на 7, 11 или 13.
Рассмотрим применение этого признака делимости . Выясним, делится ли число 13258764402 хотя бы на одно из чисел 7, 11 и 13.
1. Разобьём заданное число на грани: 43/310/ 746/411. Итак, 43 и 746 –нечётные, а 310 и 411– чётные грани числа 4310746411.
2. Найдём отдельно суммы нечётных и чётных граней:
43 + 746 =789 –сумма нечётных граней, 310+411=721 –сумма чётных граней
3. Тогда 789 – 721 =68 – разность сумм чётных и нечётных граней.
4. Так как число 68 делится на 7, но не делится на 11 и 13, то и число 43310746411 тоже делится на 7, но не делится на 11 и13
Признаки делимости на 7
1 признак
Для определения делимости числана 7 нужно:
1. Разложить его на разрядные слагаемые;
2. Каждое разрядное слагаемое в полученной сумме представить в виде произведения, одним из множителей которого является степень числа 10;
3. Заменив степени с основанием 10 на степени с основанием 3, найти значение полученной суммы;
4. Если полученное число делится на 7, то и само число тоже делится на 7.
А)Рассмотрим применение данного признака на примере определения делимости на 7 числа 23031.
Разложим на разрядные слагаемые число2303: 2303 = 2х1000 +3х100+ 0х10 +3 =2х 2. Заменив основания 10 основаниями 3, вычислим значение полученной суммы: =2х27 + 3 х 9+3 =54 +27 + 3 =84
Полученное число 84 делится на 7, поэтому и число 2303 также делится на 7.
Б) Выясним, делится ли на 7 число 3451
1. 3451 = 3х 2. . 3451 = 3х =3х27 +4х9 +15+1= 81+36+15+1=133
Так как число 133 делится на 7 (133 :7 = 19), то и число 3451 тоже делится на 7.
2 признак
Чтобы определить делится ли число на 7, нужно удвоить число единиц и отнять от оставшейся части заданного числа. Если полученная при этом разность делится на 7, то и заданное число делится на 7.
Например:
1) Число 294 делится на 7, потому,что 29 - 4х2 = 21, 21:7 = 3
2) Число 359 не делится на 7, потому, что 35- 9х2 =17, 17 на7 не делится .
Признаки делимости на 8
1 признак
1. Для определения делимости числа на 8 нужно к числу, образованному цифрами десятков и сотен прибавить половину числа единиц. Если полученное при этом число делится на 8, то и само число делится на 8.
Например: а) число 296 делится на 8, так как 29+6:2=29+3=32 –делится на 8;
б) число 3184 делится на 8, потому, что 318+4:2=320, а 320 делится на 8;
в) число 382 не делится на 8, так как 38 +2:2 = 38 + 1 =39. 39 на 8 не делится.
2 признак
1. Для определения делимости числа на 8 нужно к числу, образованному цифрами десятков и сотен прибавить половину числа единиц. Если полученное при этом число делится на 8, то и само число делится на 8.
Например: а) число 296 делится на 8, так как 29+6:2=29+3=32 –делится на 8;
б) число 3184 делится на 8, потому, что 318+4:2=320, а 320 делится на 8;
в) число 382 не делится на 8, так как 38 +2:2 = 38 + 1 =39. 39 на 8 не делится.
2. Число делитсяя на 8, если выполняются два условия:
а) если в разряде сотен данного числа стоит чётная цифра;
б) если число, образованное двумя цифрами данного числа делится на 8
Например:
1. 2640 делится на 8, т.к. в разряде сотен стоит чётная цифра 6, а число 40, образованное последними двумя цифрами заданного числа делится на 8.
2.Число 54316 на 8 не делится, потому, что в разряде сотен стоит нечётная цифра 3.
3. Число 4826 не делится на 8 , хотя в разряде сотен стоит чётная цифра, но последние цифры числа образуют число 26, которое на 8 не делится.
Если в разряде сотен заданного числа стоит нечётная цифра, то всегда можно подобрать число, делимое на 8. Для этого достатаочно к числу из двух последних цифр прибавить или отнять 4.
Например, мы знаем, что число 2748 на 8 не делится, т.к в разряде сотен стоит
нечётная цифра 7, но числа 27(48+4)=2752 и 27(48-4)= 2744на 8 делятс
Признак делимости на 4
Если последние две цифры заданного числа делятся на 4, то и само данное число делится на 4.
Например, числа 2516, 8924,3236, 12048 делятся на 4, потому, что числа 16, 24, 36, 48 , образованные последними двумя цифрами этих чисел делятся на 4.
Признак делимости числа на 19
Чтобы определить делится ли число на 19, нужно удвоить число единиц и прибавить полученное произведение к оставшейся части заданного числа. Если полученная при этом сумма делится на 19, то и заданное число делится на 19.
Например: 1) число 247 делится на 19, т.к. 24+2х7=24+14=38, 38:19=2
2) Число 425 на 19 не делится, т.к. 42-2х5=32, 32 на 19 не делится
Используемая литература:
1. «Математическая смекалка»( авт. Б.А. Кордемский ,издательство «Наука», Москва,1965 год)
2. «Быстрый счёт. 30 простых приёмов устного счёта» (авт. Перельман Я.И. издательство «Наука», Москва,1978 год)
3. «Живая математика» » (авт. Перельман Я.И. издательство «Наука», Москва,1974 год)
4. « Система быстрого счёта по Трахтенбергу»( авт. Катлер Э. Мак-Шейн Р. «Наука», Москва,1986год)
5. «Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме» http://www.all-fizika.com
|