Содержание:

1. Краткая аннотация проекта
Цели,задачи,актуальность
2. Введение
3. Основная часть
Процент. Формула «сложных процентов»
Доказательство формулы «сложных процентов» методом математической индукции.
4. Практическая часть
5. Некоторые литературные и исторические сюжеты
6. Заключение
7. Список используемой литературы
Аннотация
Существует формула «сложных процентов», но её нет в школьных учебниках, её, к сожалению, не знают и не применяют даже старшеклассники.
А между тем, она существенно облегчает решение многих задач. Считаю выбранную мною тему «Формула сложных процентов и её применение» актуальной.

Актуальность темы обуславливается:
недостаточным содержанием задач практического применения в учебниках по формуле «сложных процентов».

Цель проекта:
подобрать теоретический материал, связанный с изучением формулы «сложных процентов»;
показать целесообразность практического применения формулы «Сложных процентов» при решении задач математического и экономического содержания;
привлечь внимание одноклассников к этим задачам и научить их решать.

Задачи:
расширение кругозора;
уметь находить и анализировать информацию;
использовать полученные сведения и умения при решении задач

Введение
Понятие процент как сотой части какого-либо числа. Одно из основных понятий элементарной математики.
Практически каждый школьник знаком с ним и знает правила нахождения процента данного числа, числа по его проценту, процентное отношение чисел. Умеет решать задачи по этим правилам или с помощью пропорции. Но среди множества задач на проценты встречаются такие, в которых некоторая величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определённое число процентов.
Решить такую задачу, находя несколько раз процент от данной величины не просто, но возможно, если таких этапов 2 или 3. Если же число этапов больше, то нужно применять так называемую формулу «Сложных процентов». В школьных учебниках математики её нет, но эта формула хорошо известна в теории процентов и неразрывно связана с правилом начисления « Сложных процентов», например в банковском деле. Иногда встречаются задачи с понятием «среднего процента прироста», в которых тоже находит применение формула «сложных процентов»
Предлагаемая вашему вниманию работа посвящена решению задач по формуле «сложных процентов» . Надеюсь, что она окажется полезной для учеников, которые будут поступать в вузы.

Основная часть
Среди десятичных дробей особенно часто на практике используется дробь 0,01, т. е. «процент». Процент – сотая часть числа. В хозяйственных и статистических расчетах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах.
При решении многих сложных задач на проценты удобно использовать формулу сложных так называемых «Сложных процентов»
1.Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.
Пусть некоторая переменная величина Ѕ в начальный момент имеет значение Ѕ0, когда она увеличилась на р%, то стала равна Ѕ1
Ѕ1= Ѕ0 *(1+p/100)
Если же величина несколько раз изменилась (увеличилась или уменьшилась) на одно и тоже число %, то её значение вычисляется через n изменений по формуле «сложных процентов»
Ѕn= Ѕ0 *(1±p/100)n
2. Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так: Ѕn=Ѕо(1+Р1/100)(1+Р2/100)…(1+ Рn/100);
Докажем формулу «сложных процентов» методом математической индукции. Рассмотрим тот случай, когда в конце каждого этапа времени начисляется одно и то же постоянное количество процентов – Р %.
Ѕn= Ѕо *(1+Р/100)ⁿ.
Некоторая величина Ѕ , исходное значение которой Ѕо, в конце первого этапа будет равна
Ѕ1=Ѕ0 *(1+Р/100)
В конце второго этапа
Ѕ2=Ѕ1*( 1+Р/100)= Ѕ0 *(1+Р/100) *(1+P/100)=Ѕ0 *(1+Р/100)2 и т. д.
Пусть формула верна при n=к, т.е. Ѕк=Ѕo*(1+P/100)к .

Докажем что формула верна при n=k+1. Действительно,
Ѕk+1= Ѕk*(1+P/100) =Ѕo*(1+P/100)к * (1+P/100) = Ѕo*(1+P/100)к+1.
Итак, формула Ѕn=Ѕo*(1+P/100)ⁿ доказана.
Иногда в задачах встречается понятие «средний процент прироста».
Под средним процентом прироста понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов давал бы такое же изменение величины Ѕ, которое она получает в действительности. При неравных поэтапных процентах изменения.
Средний процент прироста q % определяется формулой

Ѕо(1+Р1/100)* (1+P2/100)… (1+Pn/100)=Ѕo(1+q/100)ⁿ
1+q/100=ⁿ√(1+P1/100)…(1+Pn/100).
Отсюда видно, что средний процент прироста не равен среднему арифметическому величин Р1,…,Рn. Здесь существует полная аналогия с определением известного из физики понятия «средняя скорость движения»

Практическая часть
Решим ряд задач с применением формулы «сложных процентов»
Задача №1
Цену товара снизили на 20% , затем новую цену снизили ещё на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10% . Какова новая цена товара, если первоначальная цена 25000тенге.
Решение:
1.По формуле «сложных процентов»
Ѕ3=Ѕо*(1-Р1/100)*(1-P2/100)*(1-P3/100)
Ѕ3=Ѕ0*(1-20/100)*(1-15/100)*(1-10/100)
Ѕ3=Ѕ0*4/5*17/20*9/10
Ѕ3=2500*4*17*9/1000
Ѕ3= 612*2, 5
Ѕ3= 15300
15300т. – новая цена, т. е. цена снизилась на 9700тенге.

Ответ: 1530 тенге.

2.Решим эту же задачу обычным способом ( по определению процента)
1)25000*0,2=5000(тенге.) – на столько снизили цену в 1-й раз
2)25000-5000=20000 (тенге.) – новая цена после 1-го снижения её на 20%.
3)20000*0,15= 3000 (тенге.) на столько снизилась цена во 2-ой раз.
4) 20000-3000=17000(тенге.) – новая цена после её снижения на 15%.
5) 17000*0.1=1700 (тенге.) на столько снизилась в 3-й раз
6)17000-1700=15300 (тенге) – новая цена после её снижения на 10 %

Ответ: 15300 тенге.

Задача №2.
Магазин продал одному покупателю 30% имевшегося в куске полотна, второму покупателю – 40% остатка, а третьему – 20% нового остатка. Сколько полотна осталось продать , если первоначально его было 1250м.
Решение:
1. По формуле «сложных процентов»
Ѕn=Ѕ0*(1-30/100)*(1-40/100)*(1-20/100)
Ѕn=1250*0,7*0,6*0,8
Ѕn=1250*0,336=420(м)

Ответ: 420м

2. По определению процента.
1) 1250 * 0.3=375(м) полотна продали первому покупателю.
2)1250-375=875(м) первый остаток .
3)875*0.4=350(м )полотна продали второму покупателю.
4)875-350=525(м) второй остаток.
5) 525*0.2=105(м) – полотна продали третьему покупателю.
6)525-105=420(м)-осталось продать.

Ответ: 420м.
Задача №3.
Герой романа И.А.Гончарова «Обломов» Илья Обломов за весну похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел или поправился за год Обломов и на сколько процентов?
Решение:
Пусть Ѕо - первоначальный вес , а Ѕn – полученный вес к концу года,
решаем по формуле сложных процентов
Пусть Ѕ0=1, то
Ѕ4=1*(1-25/100)*(1+20/100)*(1-10/100)*(1+20/100)
Ѕ4=1*(1-1/4) *(1+1/5)*(9/10)*11/5
Ѕ4=1*3/4*6/5*9/10*6/5
Ѕ4=1*972/1000 или Ѕ4=1*(1-х/100)
1- х/100 = 0,972
100-х=0,972*100
100-х=97,2
х=2,8
Обломов похудел за год на 2,8%
Ответ: похудел на 2,8%
Задача №4.
Число 76,8 дважды увеличивали на одно и тоже число процентов, а затем дважды уменьшали на одно и тоже самое число процентов. В результате получилось число 67,5.
На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число?
Решение.
По формуле Ѕп= Ѕо (1+P/100)ⁿ
Ѕо =76,8, п=2, P -число процентов неизвестно
76,8(1+P/100)? - такое число стало после двукратного увеличения, т. е. это Ѕп ,
затем это число Ѕп уменьшали двукратно на Р% и получили
76,8(1+Р/100)2 * (1-P/100)2 – по условию это выражение равно 67,5
76,8(1+Р/100)2 * (1-Р/100)2 =67,5 это уравнение относительно Р
((1+р/100)*(1-р/100))2=67,5/76,8
((1+Р/100)(1-Р/1000))2=675/768;
(1+Р/100)(1-Р/1000)=15/16;
1-(Р/100)2=15/16;
(P/100)2=1-15/16;
(P/100)2=1/16;
P/100=1/4;
P=25
Значит, число процентов равно 25.

Ответ: 25%.

Задача №5.
Цена на товар сначала снизилась на 5% ,а затем повысилась на 5% . Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?
Решение:
1. По формуле «сложных процентов»
Пусть Ѕ0=1
Ѕ2=1*(1-5/100)*(1+5/100)
Ѕ2= 1*(1-25/10000)
Ѕ2= 1*(1-25/10000)= 1*0,9975 или Ѕ2=1-х/100
1- х/100 = 0,9975
100-х=0,9975*100
100-х=99,75
х=0,25
т.е дешевле на 0,25
Ответ: дешевле на 0,25%

Задача №6.
Бизнесмен под офис отвел участок в виде прямоугольника. Однако затем он решил длину этого участка увеличить на 35% , а ширину уменьшить на 14% . На сколько процентов изменилась площадь офиса?
Решение:
Пусть а(см)- длина участка, в(см)- ширина участка,
Ѕ0=ав (см2)-первоначальная площадь офиса.
Ѕn-новая площадь офиса
Ѕn =а*(1+35/100)в*(1-14/100)
Ѕn= ав*1,161=ав*(1+0,161)=ав*(1+16,1/100),
Ѕn= Ѕ0*(1+16,1/100), т.е
Ѕn>Ѕ0 на 16,1%
Ответ: увеличилась на 16,1%.

Задача №7.
Двое рабочих вышли из одного и того же дома и пошли на один и тот же завод. У первого из них был шаг на 10% короче второго, но зато он делал шагов на 10% больше, чем второй. Кто из этих рабочих придет раньше на завод?
Решение:
Пусть а- длина шага первого рабочего, в- количество шагов первого рабочего,
Ѕ=ав расстояние от дома до работы, тогда это же расстояние второй рабочий пройдет за:
Ѕ =а*(1-10/100)в*(1+10/100)
Ѕ= ав*(1-0,1)*(1+0,1)
Ѕ= ав*(1-0,01),
ав=ав*0,99
ав>ав*0,99 ,
значит второй рабочий придет на работу раньше.
Ответ: Второй рабочий.
Задача №8.
После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена блокнота упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько процентов снижалась цена блокнота каждый раз?
Решение.
По формуле Ѕп= Ѕо (1-P/100)ⁿ
Ѕо =300 п=2 P- неизвестно
300(1-P/100)2=192
100(1-P/100)2=64
(1-P/100)2=0,64
1-P/100=0,8
P/100=1-0,8;
P/100=0,2
Р=20 Ответ: на 20%.
Задача №9
Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем к вечеру ещё на 5% по сравнению с полуднем . Сколько процентов от утренней влажности воздуха составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?
Решение:
По формуле сложных процентов получаем уравнение:
Ѕn=Ѕ0*(1-12/100)*(1-5/100)
Ѕn=Ѕ0*0,88*0,95
Ѕn=Ѕ0*0,836 , при Ѕ0=1 получаем
1- х/100 = 0,836
100-х=83,6
х=16,4
Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6%.

Задача №10
За три года население города увеличилось с 2000000 до 2315250. Найти средний годовой процент прироста населения.
Решение:
Применим формулу «сложных процентов»:
2315250=2000000*(1+р/100)3
(1+р/100)3=2315250/2000000
(1+р/100)3=1,157625
1+р/100 =1,05
р/100=1,05-1
р/100=0,05
р=5
Ответ: 5%

Некоторые литературные и исторические сюжеты

Различные истории, связанные с начислением простых и сложных процентов, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях.
Вот некоторые примеры.
1. В романе М.Е.Салтыкова-Щедрина "Госпо¬да Головлевы" есть такой эпизод: "Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписы¬вая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Пет¬ровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб. ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетне¬го Порфирия ? Выходит, однако, немного: всего 800 руб. ассигнациями".
Предполагая, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года, установим, по сколь¬ку процентов в год платил ломбард. Пусть р % — искомая ставка. Тогда по формуле сложных процентов имеем: 100*(1+р/100)53=800.
Отсюда (1+р/100)53=8 и р=100*(81/53-1).Производя расчеты , получаем, что
р = 4% — не очень много!

2. В этом же романе сын Порфирия Владими¬ровича Петя проиграл в карты казенные 3000 руб.и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: "Я бы хороший процент дал. Пять про¬центов в месяц". Подсчитаем, сколько денег го-тов был вернуть Петя через год, согласись бабуш¬ка на его условия.

Если вести расчет по сложным процентам, то Петя Ѕ1=3000*(1+5/100)12=5400 вернул бы бабушке Если же вести счет по простым процентам, то он вернул бы Ѕ2=3000*(1+0,05*12)=4800 руб.
Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!
3. В новелле О.Бальзака "Гобсек" один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гоб¬сека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую же сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. Итак, Ѕ0 = 150000, р = 15%, п = 10 лет. По формуле сложных процентов Ѕ=Ѕ0*(1+р/100)п получаем Ѕ= (1 + 0,15)'° = 606 833,6 франка.
формуле сложных процентов J = 50- 1
4. Сложные проценты обладают удивительным свойством — с возрастанием показателя п вели¬чина (1 + а)", а > 0 достигает колоссальных раз¬меров. Чтобы показать это, рассмотрим знамени¬тое завещание Бенджамена Франклина: "Препоручаю 1000 фунтов стерлингов бостон¬ским жителям. Если они примут эту тысячу фун¬тов, то должны поручить ее отборнейшим гражда¬нам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употребле¬ны были на постройку общественных зданий, а остальные
31 000 фунтов отданы были в процен¬ты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов оставляю в распоряжении бостон¬ских жителей, а 3 000 000 — правлению Масса¬чусетсской общины. Далее не осмеливаюсь прости¬рать своих видов". Мы видим, что, завещав всего 1000 фунтов, Б.Франклин распоряжается миллиона-ми. Проверим, не ошибся ли он в своих расчетах.
Процентная ставка равна р = 5% годовых. Через 100 лет первоначальная сумма 50 = 1000 фунтов превратится в Ѕ=Ѕ0*(1+5/100)100=1000*(1,05)100≈ 131 501,06 фунтов. Эта сумма совсем немного отличается от 131 000 фунтов, указанных в заве¬щании. Далее, 31 000 фунтов еще через 100 лет превратится в
Ѕ1= 31 000(1 + 0,05)100 = 4 076 532,8 фунтов.
Фактически проценты начислялись не на 31 000 фунтов, а на 31 501,06 фунтов, и поэтому к концу второго столетия эта сумма превратится в
Ѕ2 = 31 501,6(1,05)100= 4 142 422,7 фунтов.
Расчеты показывают, что Б.Франклин действи¬тельно мог распоряжаться миллионами!
Однако мы должны понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассмотрена только идеальная математическая модель, не учитываю¬щая ни инфляции, ни денежных реформ, ни де¬номинации, ни многих других причин. Однако суть явления — рост величины вклада до колос¬сальных размеров при возрастании срока его хра¬нения — эта модель показывает очень хорошо.

5. Рассмотрим еще одну гипотетическую ситуа¬цию, иллюстрирующую колоссальный рост вкла¬да при увеличении срока его хранения. Предпо¬ложим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5% годовых. Это, конеч¬но, не совсем реальная ситуация, но примем ее и займемся вычислениями. В какую сумму превра¬тится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?
По формуле сложных процентов при 50= 1 коп., п = 2000 лет, р = 5% имеем:
S = 1*(1+0,05)2000=(1,05)2000коп.Оценим эту величину.
Непосредственным подсчетом убеждаемся, что
(1,05)14≈ 1,98≈2 коп. Следовательно, через 14 лет наш вклад в одну копейку удвоится. Это удвоение произойдет 142,8 раза = 2000 : 14, следовательно, к 2000 г. одна копейка превратится в 2142 копеек.
Оценим это число. Известно, что 2'° = 1024,
220 = 1 048 576, 222 = 4 194 304, 240 = 1 099 511 627 776.
Поэтому интересующая нас сумма в 2142 представляется в виде:
2142 = 240 * 240 * 240 * 222 = (1 099 511 627 776)3 *4 194 304 коп.!
Эта сумма превосходит все денежные запасы мира! По поводу решения этой задачи можно дос¬ловно повторить все сказанное после решения задачи 4, однако характер роста сложных про¬центов показан здесь очень ярко.

Заключение
Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
Решение текстовых задач у многих учащихся вызывают затруднения, поэтому в своей работе я показала, что при решении задач на проценты применение формулы «сложных процентов» весьма эффективна. Например, задача №1 решена двумя способами и в сравнении видно, что формула «сложных процентов» очень удобна в применении, а в задаче №4, без этой формулы решить её трудно, т.к. неизвестно число процентов.
Поэтому непонятно почему формулы «сложных процентов» нет в школьных учебниках.
Работая над данной темой , способствовала расширению своего математического кругозора, развитию умения анализировать, сравнивать, глубоко и прочно усвоив материал.
Мне хочется порекомендовать ученикам эту формулу, применять её и решать задачи на проценты.

Список используемой литературы
Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начало анализа». М., «Просвещение» 1990 год.
И.П. Рустюмова «Пособие для подготовки к ЕНТ», Алматы 2005 год
Журнал «Математика в школе.» 1998г.№5
Л.Лысенкер Практическая математика для начинающих бизнесменов
Ф.Ф. Нагибин «Математическая шкатулка» М.«Просвещение»1988год.