Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Определение метода можно сделать более общим, говоря не о случайных величинах, а о случайных функциях.
Идея моделирования случайных явлений известна давно и, по мнению некоторых авторов, восходит к временам Древнего Вавилона и Ветхого Завета. Что же касается использования такого рода явлений для целей приближенных вычислений, то первой работой в этой области принято считать работу Холла 1873 г. о вычислении числаπ с помощью случайных бросаний иглы на разграфленную параллельными линиями бумагу. Существуют также ряд более поздних работ, в которых до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) использовались по существу идеи метода Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную – очень трудоемкий процесс. Поэтому, идеи эти не получили заметного развития вплоть до 1944г., когда в связи с работами по созданию атомной бомбы Дж. фон Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ.
А теперь начнем опыт – будем бросать на бумагу зерна случайным образом (вообще – то это нелегко сделать, чтобы обеспечить случайность). Когда нам покажется, что зерна почти полностью покрыли бумагу, посчитаем, сколько всего зерен на прямоугольнике (пусть их число Ntotal ) и сколько из них на фигуре ( Nfig ). Ясно, что число зерен, попавших внутрь фигуры, пропорционально ее площади: больше площадь – больше зерен, меньше площадь – меньше зерен. Поэтому, поделив количество зерен , попавших внутрь фигуры , на количество всех зерен в прямоугольнике, мы сможем найти, какую часть площади прямоугольника занимает фигура:
Nfig / Ntotal » Sfig / Stotal , отсюда Sfig » Nfig / Ntotal ? Stotal
Предположим, нам надо найти площадь фигуры ограниченной сверху кривой Y = F(X), а снизу – осью абсцисс. Пусть Y = cos(X), а Х I [– p /2, p /2] (см. рис. 2). Ограничим нашу фигуру прямоугольником АСDB, его площадь равна p .
|
