1) Повторить способы построения многоугольников с уроков черчения и познакомить с новыми способами.
2) Воспитывать у учащихся аккуратность, чувство взаимопомощи.
3) Способствовать развитию познавательного интереса к учебным предметам геометрии и черчению.
4) Развивать мышление учащихся при решении задач, выходящих за рамки школьного курса.
5) Развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы.
6) Развивать память учащихся.

Оборудование:

для учителя - образцы практического применения; таблица погрешностей.
для учащихся - формат А4; чертежные инструменты.

Организационный момент.

Сегодня на уроке рассмотрим построение правильных многоугольников. Эта задача замечательна тем, что возникла в глубокой древности из практических потребностей людей в архитектуре и строительной технике.

Основная часть урока.

Учитель геометрии:

-Что надо знать для того, чтобы построить правильный многоугольник?

Ученик: Сторону и угол.

-Какую из величин можно задать произвольно?

Ученик: Сторону.

-Что можно сказать о величине угла?

Ученик: Его можно вычислить, применив теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

-Найдём величину угла для правильного пятиугольника.

Ученик:

S=180(n-2) n=5
S=180(5-2)=540

Т.к. углы равны, то 540/5=108

-Какой инструмент необходим для построения?

Ученик: Транспортир.

(Учащиеся строят правильный пятиугольник на доске и в тетрадях.) Рисунок 1.

-Рассмотрим построение правильного пятиугольника через центральный угол a=360/n n=5 a=360/5=72 (Учащиеся строят правильный пятиугольник на доске и в тетрадях.) Рисунок 2.

В ходе беседы учащиеся приходят к выводу, что транспортир-это инструмент небольших размеров, поэтому не обеспечивает достаточной точности и удобств в работе.

-С чем связан последний способ?

Ученик: С окружностью.

Решая эту задачу, учёные пришли к выводу, что правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки. Хотя решения будут приближёнными (что вы и заметите), но с достаточно большой точностью. Значит, построение правильных многоугольников будет связано с окружностью.

-Следовательно какой многоугольник легче всего построить?

Ученик: Квадрат.

(У доски ученик объясняет построение квадрата. Рисунок 3.)

Ученик: Строим окружность произвольного радиуса. Проводим два перпендикулярных диаметра, затем последовательно соединяем их концы.

-Какая связь окружности и построенного правильного четырёхугольника?

Ученик: Квадрат вписан в окружность. Окружность разделили на четыре равные части.

Вывод: построить правильный многоугольник, значит разделить окружность на n равных частей.

Ученики предлагают построение правильного шестиугольника. Так как а6=R, то разделим окружность на шесть равных частей. Рисунок 4.

В Вавилоне считали, что окружность ровно в шесть раз длиннее радиуса L=6R.Точнее L=6 2/7R.

- Нельзя ли, используя этот рисунок, построить ещё какой-нибудь правильный n – угольник?

Ученик: Треугольник соединяя через вершину.

Используя этот рисунок, ученики строят правильный треугольник. Рисунок 5.

- Существует ещё один способ построения треугольника известный вам с уроков черчения.

Учитель черчения:

Если ученики не смогли вспомнить способ построения правильного треугольника BDC, учитель напоминает им. Рисунок 6.

Для построения треугольника проводят дугу ВС из точки А. Соединяем точки В и С хордой. А точки В и C с точкой Д.

Попутно решилась другая задача – деление окружности на 7 равных частей. Соединяя точки В и С хордой и беря ее половину GC, получают длину стороны правильного семиугольника.

Если радиусом GH сделать засечку на вертикальном диаметре в точке К, то хорда КН даст величину стороны правильного пятиугольника, а катет ОК определит длину стороны правильного десятиугольника.(Рисунок 7).

Учитель геометрии: Нельзя ли использовать построение многоугольника правильных n – угольников с большим числом сторон? (Если ученики не смогут ответить, то познакомить их с примером в учебнике геометрии на стр. 207. рисунок 286).

Ученики самостоятельно выполняют построение 12- угольника.(Рисунок 8)

Вывод: если в окружность вписать правильный n - угольник, то легко построить правильный вписанный 2n – угольник.

Учитель геометрии: Способы построения различны, хотя есть общее в построении 3- угольника, 5- угольника, 7- угольника. Практику нужен способ достаточно простой и общий для деления окружности на любое число равных дуг.

Рассмотрим общий способ построения на примере построения 9- угольника.

Возьмем R = 45 мм., треугольник АВС - равносторонний, разделим диаметр АВ точкой Д в отношении АД:АВ = 2:9 ( в общем случае АД:АВ=2:n).

Проведем СД, получим точку Е. Дуга АЕ=1:9L окружности. Отрезок АЕ- сторона правильного 9- угольника. Разделим окружность на 9 равных частей. Рисунок 9.

Посмотрим какова точность построенияn
3 4 5 6 7 8 9 10 20 60
360°/n 120° 90° 72° 60° 51°26’ 45° 40° 36° 18° 6°
Угол АОE 120° 90° 71°57’ 60° 51°31’ 45°11’ 39°41’ 36°21’ 18°38’ 6°26’
Погрешносность,% 0 0 0,07 0 0,17 0,41 0,8 0,97 3,5 7,2

Как видно из таблицы, указанным способом можно разделить окружность на 5, 7, 8, 9 или10 частей с небольшой относительной погрешностью от 0,07 до 1%

(Напомнить ученикам, что такое относительная погрешность и как её рассчитать.)

О.П = = = 0,008 = 0,8%

Т.З-Пр.Зн.= 40°-39°41’=19’=19/60=0,32

Т.З=39°41’= 39 =39,68

Такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ. С увеличением числа сторон точность способа заметно падает, т.е. относительная погрешность растет, но как показали исследования, при любом n она не превышает 10%.

И всё же существует единый способ построения правильного n-угольника, в основу которого положена известная вам теорема геометрии. После знакомства с этим способом вам необходимо назвать эту теорему.

Учитель черчения: Для построения многоугольника из 11 равных сторон проведем из точки А под острым углом к отрезку (диаметру) АВ, прямую линию. На ней циркулем-измерителем откладываем нужное число равных отрезков произвольной величины, в данном случае 11. Последнюю точку соединяем с точкой В. Из нечетных точек деления с помощью линейки и угольника проводим прямые, параллельные прямой 11В. Если провести через все точки, то поделим отрезок АВ на 11 равных частей.

Сейчас проведем дугу СД радиусом ВА до пересечения с горизонтальной осью. Из точек С и Д будем проводить через точки 1’, 3’,5’ и т.д. лучи до пересечения с окружностью. Соединяем полученные точки на окружности между собой, и таким образом, мы вписали в окружность правильный многоугольник. Рисунок 10.

Учитель геометрии: Какая теорема используется?

Ученик: Теорема Фалеса.

Учитель геометрии: Ещё в XV веке великий художник Леонардо да Винчи (14521519), занимался такими построениями. В 1888 году в журнале “Вестник опытной физики и элементарной математики” появилась статья Ф. Коваржика, где он предложил общий способ построения правильных многоугольников по данной стороне. (Рисунок 11)

Пусть АВ - сторона правильного n-угольника, который требуется построить. На АВ строим равносторонний треугольник АВС, из точки С опускаем перпендикуляр СД на АВ и продолжаем его. Затем делим АВ 6 равных частей и такие части откладываем на СД по обе стороны от С. Точки деления являются центрами окружностей, описанных около искомых многоугольников. Перенумеровав эти точки, как показано на рисунке, получим, что А7-радиус, описанной около семиугольника, сторона которого равна АВ. Для шестиугольника и двенадцатиугольника такое построение дает точный результат. Для других значений n предложенное построение обладает достаточно высокой точностью.

Ученики строят правильный 7-угольник, используя данный способ. (Рисунок 12).

Приближенные способы построения правильных многоугольников просты и удобны в практике, красивы и орнаментальные. Они применяются в архитектуре, живописи, народном творчестве, декоре, промышленности, быту; необходимые конструктору, строителю, радиолюбителю, художнику. Демонстрируем архитектурные сооружения, разделочные доски, репродукции с изображением доспехов русских воинов.

Задание по вариантам: Построить правильный 10-угольник и 12-угольник.

Итог урока.

ГУ «СШ им. Н. Островского»

Интегрированный урок черчение + геометрия
Тема: Построение правильных многоугольников
Преподаватель: Манаков А.К. Манакова М.К.