Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Наша библиотека
| Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика |
открытый урок по алгебре в 9 классе по теме "Формула суммы n первых членов геометрической прогр
| 2011-12-06, 4:46 PM | |
| Предмет: алгебра Класс: 9 Тема: «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии». Учитель: Дегтярёва Ольга Фёдоровна. Школа: Токаревская средняя школа, пос.Г.Мустафина, Карагандинской области, Бухаржырауского района. Цель: формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии, формирование умений работать с формулами n-го члена прогрессии; вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии; выработать навыки нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии; проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач; развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей их жизни; продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания; продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры. Ход урока: 1. Проверка домашнего задания: Тест(13-15 мин): 1 вариант. 1.( bn ) – геометрическая прогрессия, b1 = 270, q = ⅓. Найти b6. А ) 1  10/9 C ) 13/9 D) 5/9 E ) 8/9 2.(cn ) – геометрическая прогрессия, c6= 0,243, q=0,3. Найти c1. A) 1 81 C) 100 D) 10 E) 3 3.( yn) – геометрическая прогрессия. Найти . A) 3 C) 2 D) 3 E) 2. 2 вариант. 1.( bn ) – геометрическая прогрессия, b1 = 2, q = 3. Найти b7. А ) 1458 729 C ) 81 D) 2916 E ) 1875 2.(cn ) – геометрическая прогрессия, c7= 0,005, q=1/2. Найти c1. A) 2/25 4/25 C) 1 D) 0,5 E) 8/25 3.( yn) – геометрическая прогрессия. Найти . C) 2 D) 3 E) . 2.Объяснение новой темы: 1.Историческая справка: Первые представления о прогрессиях были ещё у древних народов. В клинописях, вавилонских таблицах и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. В древнеегипетских папирусах Ахмеса (около 2000 лет до н.э.) приводится такая задача: «Пусть тебе сказали разделить 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разница мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры». О какой прогрессии идёт речь? Об арифметической. Здесь, S10=10, d = 1/8. Найти а1, a2, a3,a4, a5,…a10 . Вот, например, задача из древнегреческого папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?» О какой прогрессии здесь идёт речь? О геометрической, т.е. ∑ 7+72+73+74+75. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов. Быстрое возрастание геометрической прогрессии в ряде культур, – в частности, в индийской, – неоднократно используется как наглядный символ необозримости мироздания. По преданию, индийский принц Ширам, восхищённый остроумием игры и разнообразием возможных положение фигур шахматных, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твоё желание.» Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – в 2 раза больше, чем на предыдущую, и т.д. Таким образом, возникает необходимость найти S64, где b1=1, q =2, n = 64. 2.Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии: Пусть дана геометрическая прогрессия (bn), тогда: Sn= b1+b2+b3+…+bn-1+bn → умножим на q → Snq = b1q + b2q + b3q + ... + bn-1q + bnq= b2+b3+…+bn +bnq . Найдём разность: Snq - Sn = bnq - b1, → Sn (q – 1) = bnq - b1, → Sn =(bnq - b1)/(q – 1 ) или Sn =b1 (qn – 1)/(q – 1). Вернёмся к нашей истории. Сколько же зерна затребовал Сета? Принц думал, что речь идет, самое большое, о нескольких мешках, но он просчитался. Нетрудно видеть, что за все 64 клетки шахматной доски изобретатель должен был бы получить S64 = 264 – 1 зерно, что выражается 20-значным числом -18 446 744 073 709 551 615 ( 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615) , т.е. больше триллиона тонн зерна, что превосходит количество пшеницы, собранной человеком до настоящего времени. Даже если засевать всю поверхность Земли, потребовалось бы не менее 8 лет, чтобы собрать необходимое количество зерен. Эту легенду иногда интерпретируют как указание на практически неограниченные возможности, скрытые в шахматной игре. 3.Ещё одна историческая задача для будущих коммерсантов и предпринимателей: «Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил ему сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 тысяч рублей, а ты мне в 1 день за 100 000 рублей дашь 1 копейку, во 2 день – 2 копейки, и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна такая сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче: он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца (сколько?) – 3 000 000 рублей. Кто же выиграл?» Учащиеся самостоятельно составляют условие задачи и решают её: b1=1, b2=2, b3=4,…,b30=229, q=2, n=30. S30=1(230 −1)/(2−1 )= 230- 1 = 10 737 418 рублей 23 копейки. Таким образом, купец проиграл. Недаром говорят: «Семь раз отмерь – один раз отрежь». 4. Следующее испытание на широту кругозора (объем интересов и знаний). Интересные факты: 1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии. 2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию. Какие величины в треугольнике образуют геометрическую прогрессию? 3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия. 4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут. 5) Экономика. Вклады в сбербанке ежегодно увеличиваются на одинаковый процент. Вклад составляет 1000 тенге при 4% годовых. Какую сумму получит вкладчик через 3 года? 5.Итоги урока. 6.Домашнее задание: п.12, вывести 4 и 5 факты. | |
| Просмотров: 3268 | Загрузок: 0 | Комментарии: 2 | | |
Понедельник, 2024-12-02, 3:59 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Категории раздела | |||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|