Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Наша библиотека
| Главная » Файлы » В помощь учителю » Математика |
34 поурочных плана по геометрии 8 класс( здесь с 20-го пригодятся!)
| [ Скачать с сервера (1.03 Mb) ] | 2013-03-03, 4:44 PM |
| Урок №20 Тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника Цели урока: обучающая – ввести определения синуса, косинуса, котангенса и тангенса, научить учащихся пользоваться соотношениями между сторонами треугольника по данному значению синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла. развивающая – развить наблюдательность, внимательность, познавательный интерес к предмету воспитательная – воспитание у учащихся трудолюбия, взаимоуважения. Тип урока: формирование знаний и умений Ход урока: I. Изучение нового материала. Учитель: «Какой треугольник мы называем прямоугольным?» рис.1 1. Назовите катеты и гипотенузу 2. Назовите катет, прилежащий к углу А и углу В. 3. Назовите катет, противолежащий углу А и углу В. Ввести определения косинуса: Cos α = b/с =АС/АВ tg α = a /b = ВС/АС Sin α = a/с = ВС/АВ ctg α = b/а = АС/ВС Обратиться к классу для записи Sinβ, Cos β, tg β, ctg β и закрепить на треугольнике с другими обозначениями. К Р М Sin КМР = ? Cos РКМ = ? Cos РМК = ? Sin РКМ = ? tg КМР = ? tg РКМ = ? II. Закрепление. Задача. Как выполнить построение прямоугольного треугольника, косинус острого угла которого равен 4/5? Cos α = 4/5 (обратиться к рис.1) Соs α = АС/ВС Выберем единичный отрезок е. Построить. Алгоритм представить на доске: 1). Отметим точку С. 2) проведём СЕ перпендикулярно СF 3) на луче СЕ отложим СА=4е 4) построим окружность (А; 5е) 5) окружность ∩ CF = В 6) получим ∆АВС, где Соsα = 4е/5е= 4/5 III. Самостоятельно построить прямоугольный треугольник, где Cos α = 3 /4 Cosβ = 3/5 IV. Домашнее задание 1) построить прямоугольный треугольник , если Cos α = 5/8 2) самостоятельно разобрать доказательство утверждения о том, что величина косинуса не зависит от длин сторон треугольника. Урок №21 Тема: Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. (решение задач) Цели: Образовательная – научить пользоваться соотношениями между сторонами и углами прямоугольного треугольника при решении задач Развивающая – развить навыки решения задач, логическое мышление, опережающий метод обучения. Воспитательная – способствовать воспитанию ответственности за качество и результат выполняемой работы на уроке. Тип урока: закрепление и обобщение знаний, умений, навыков Ход урока: I. Проверка усвоения изученного материала. Фронтальный опрос по рис.1 Рис.1 α + β = ? Найти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов α и β треугольника СДК, где уголД=90◦. Рис.2 Что можно сказать о ∆АВС и ∆АДЕ? АД = к АВ АЕ = к АС соs А= АЕ/АД = к АС/к АВ II. Устные задачи ∆АВС угол С = 90◦ 1) ВС =8, АВ = 17, АС = 15, sin ВАС - ?, cos АВС - ? 2) АС = 24, АВ = 25, АС = 7, cos ВАС - ?, sin АВС - ? 3) ВС = 1, АС = 2, АВ = √5., tg ВАС - ? ctg АВС - ? III. Решение задач. Задачи из учебника №118 (3), 120 (2), 121 (3). Вызвать трёх учеников на построение к доске. Более сильным ученикам с последующим выходом к доске для объяснения предлагаю следующую задачу (№124) Дано: ∆АВС, АВ=ВС=5 м, АС=6см, ВК препендикулярноАС, ВК=4м Найти: соs АВК, sin КВС, tg АВК, сtg КВС IV. Домашнее задание: §8, №123 Урок №22-23 Тема урока: Теорема Пифагора/2ч/ Содержание: Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач. Цели урока: 1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. 2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора. 3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой. Прогнозируемый результат 1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. 2. Уметь доказывать теорему Пифагора. 3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач. План урока 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний. 3. Историческая справка о теореме Пифагора. 4. Работа над теоремой. 5. Решение задач с применением теоремы. 6. Подведение итога урока. 7. Домашнее задание. Оборудование 1. Чертежные инструменты. 2. Портрет Пифагора. 3. Рисунки к устным задачам. Ход урока … Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач. • Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. • Чему равен cos A на рисунке 1? • Чему равен cos В на рисунке 2? • Чему равны косинусы острых углов Δ CDE на рисунке 3? Рис. 1 – 3 О т в е т: 1) cos A = 2 / 7; 2) cos В = 15 / 17; 3) cos C = 5 / 13, cos D = 12 / 13 Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора". — Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…) — А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.) Действительно, это шуточная формулировка теоремы. В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". — Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)? Рис. 4 Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис.5): Рис. 5 . А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 6). Рис. 6 Д а н о: Δ АВС, ∠ С = 90°. Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2 + ВС2. Д о к а з а т е л ь с т в о Проведём высоту CD из вершины прямого угла С. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому в Δ ACD cos A = AD / AC, а в Δ АВС cos А = AC / AB. Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, AD / AC = AC / AB. Отсюда, по свойству пропорции, получаем: АС2 = AD • АВ. (1) Аналогично, в Δ ВCD cos В = BD / BC, а в Δ АВС cos В = BC / AB. Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, BD / BC = BC / AB. Отсюда, по свойству пропорции, получаем: ВС2 = ВD • АВ. (2) Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки: АС2 + ВС2 = AD • AB + BD • AB = AB • (AD + BD). Так как AD + BD = АВ, то АС2 + ВС2 = AB • AB = AB2. Получили, что АВ2 = АС2 + ВС2. Итак, Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём. Ч. т. д. Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач. Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении с2 = а2 + b2. Решим устно несколько задач по готовым чертежам. З а д а ч а №1 Рис. 7 Р е ш е н и е Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 62, АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100, АВ = 10. О т в е т: АВ = 10 З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются. З а д а ч а №2 Рис. 8 Р е ш е н и е Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16), по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2, DC2 = 52 – 32, DC2 = 25 – 9, DC2 = 16, DC = 4. О т в е т: DC = 4 Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они и спользовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… Об этом вы прочитаете дома в п. 64 и в материалах "раскладушки". З а д а ч а №3 Рис. 9 Р е ш е н и е Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 17). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ: KM2 = KL2 + KM2, KM2 = 52 + 122, KM2 = 169, KM = 13. О т в е т: KM = 13 А теперь письменно решим следующую задачу. З а д а ч а №4 Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см (рис. 18). Рис. 10 Д а н о: Δ АВС, BD – высота, АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см. Н а й т и: ВС. Р е ш е н и е 1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные. 2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда BD2 = AB2 – AD2, BD2 = 202 – 162, BD2 = 400 – 256, BD2 = 144, BD = 12. 3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюда BC2 = 122 + 92, BC2 = 144 + 81, BC2 = 225, BC = 15. О т в е т: сторона BC равна 15 см. З а м е ч а н и е. На втором этапе решения достаточно было найти BD2 и подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + DС2. Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач. Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач. Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи. О т е о р е м е П и ф а г о р а Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна … (Отрывок из стихотворения А. Шамиссо) Домашнее задание: выучить материалы § 9, решить задачи № 127, №130 Урок № 24 Тема урока: Теорема Пифагора. Цели: обучающая: Умелое использование при решении задач теоремы Пифагора и теоремы, обратной ей. развивающая: Развитие логического мышления и умения решать задачи, обобщать и сравнивать. воспитательная: воспитание самостоятельнности и творческого подхода, поиска в решении задач. мышления Тип урока: Закрепление и обобщение материала. Наглядность: Кластер «Метрические соотношения в треугольнике», «Теорема Пифагора», тематические карточки, таблицы, листы оценивания, схемы. Ход урока: 1. Работа в группах. Разделить класс на две группы и ознакомить с этапами урока. Группы«Тригонометрия» и «Пифагор». 2. Индукция . С целью повышения интереса к уроку каждой группе был роздан дополнительный материал.. Метрические соотношения треугольника Прямоугольный треугольник Исторические сведения о sin. cos. tg 1. построить 2. определение 3. выписать элементы Ознакомить с историей Дать определения. Теорема Пифагора Прямая и обратная теорема В чём смысл? 1. прямая теорема 2. обратная теорема (привести пример) 1. применение 2. обьяснить смысл. 3. Деконструкция. Подготовить рисунок, чертёж и модель. Работа с материалом – открытие свойств геометрических фигур. №1. Какие из данных чисел могут быть сторонами прямоугольного треугольника? а) 20; 30; 50; ә) 13; 5; 12; №2 (а). Вырезать из цветной бумаги прямоугольный треугольник. №2 (б). Метод измерения земли, применявшийся древними египтянами. 4. Реконструкция. Используя математические термины обобщить, обьяснить основное содержание материала и его практическое применение. 1. Составить и решить задачи по чертежу равностороннего треугольника. а) АВ = ВС = АС = 10см б) АВС. АВ = ВС = 17СМ Высота АК = ? ВЕ - высота, АС = 16см Решение: ВК = 5см ВЕ = ? Решение: АЕ = 8см АК = = ВЕ = = = см = см . 5. Афиширование. Исследовательская работа учащихся «Моя задача»: Каждый ученик в своей работе(на рис) находит и чертит прямоугольный треугольник так, чтобы его длины сторон являлись натуральными числами. По окончании проводит презентацию своей работы. Прямоугольный треугольник Катеты Гипотенуза с а в А с = В 2 2 с = С Разность катетов Размышления: 1. Один из углов прямоугольного треугольника... 2. Стороны, образующие прямой угол... 3. Сторона, противолежащая прямому углу... 4. Построив прямоугольник, можно получить из него два прямоугольных треугольника... 5. Используя диагонали квадрата можно получить 8 прямоугольных треугольников. 4 из них больше 4-х остальных в 2 раза. Я нашёл общее свойство для 8 прямых углов, отличное от других. Что это за свойство? Домашнее задание: §9 №127, 129 Урок № 25-26 Тема: Решение задач. Самостоятельная работа Цели урока: общеобразовательные: проверить теоретические знания учащихся (свойства прямоугольного треугольника, теорема Пифагора), умение использовать их при решении задач; Пифагора. развивающие: развитие умений применять теоретические знания на практике; развитие умения формулировать выводы при наблюдениях; развитие памяти, внимания, наблюдательности: развитие мотивации учения через эмоциональное удовлетворение от открытий, через введение элементов истории развития математических понятий. воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к предмету через изучение жизнедеятельности Пифагора; воспитание взаимопомощи и объективного оценивания знаний одноклассников через взаимопроверку. Форма урока: классно-урочная. План урока: I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний. III. Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора. IV. Домашнее задание. V. Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам с отгадыванием афоризмов Пифагора). Ход урока: I. Организационный момент. II.Проверка домашнего задания. Актуализация знаний. Учитель: Какое задание вы выполняли дома? Ученики: По двум данным сторонам прямоугольного треугольника найти третью сторону, ответы оформить в виде таблицы. Повторить свойства ромба и прямоугольника. Повторить, что называется условием, а что заключением теоремы. Подготовить сообщения о жизни и деятельности Пифагора. Принести веревку с 12-ю завязанными на ней узлами. Учитель: Ответы к домашнему заданию проверьте по таблице а 7 9 11 16 33 48 36 в 24 40 60 63 56 55 77 с 25 41 61 65 65 73 85 (черным цветом выделены данные, красным – ответы). Учитель: На доске записаны утверждения. Если вы согласны с ними на листочках напротив соответствующего номера вопроса поставьте “+”, если не согласны, то поставьте “–”. На доске заранее написаны утверждения. - Гипотенуза больше катета. - Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 1800. - Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и в вычисляется по формуле S=ab/2. - Теорема Пифагора верна для всех равнобедренных треугольников. - В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы. - Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. - Квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и второго катета. - Сторона треугольника равна сумме двух других сторон. Проверяются работы с помощью взаимопроверки. Утверждения, вызвавшие споры, – обсуждаются. Ключ к теоретическим вопросам. “+” “+” “–” “+” “+” “+” “–” “–”. Учащиеся ставят друг другу оценки по следующей системе: 8 правильных ответов “5”; 6-7 правильных ответов “4”; 4-5 правильных ответов “3”; меньше 4 правильных ответов “2”. - Дополнительные задания: На магнитной доске на карточках написаны математические формулы. Выберите те из них, которые отражают смысл теоремы Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза. 1) с2 = а2 + в2 2) с = а + в 3) а2 = с2 – в2 4) с2 = а2 – в2 5) в2 = с2 – а2 6) а2 = с2 + в2 Пока учащиеся, решающие задания у доски и на местах, не готовы, слово предоставляется тем, кто подготовил сообщения о жизни и деятельности Пифагора. Школьники, работающие на местах, сдают листочки и слушают доказательства тех, кто работал у доски. III. Решение практических задач с использованием теоремы Пифагора. Учитель: предлагаю вам практические задачи с применением изучаемой теоремы. Побываем сначала в лесу, после бури, потом на загородном участке. Задача 1. После бури сломалась ель. Высота оставшейся части 4,2 м. Расстояние от основания до упавшей макушки 5,6 м. Найти высоту ели до бури. Задача 2. Высота дома 4,4 м Ширина газона вокруг дома 1,4 м. Какой длины надо изготовить лестницу, чтобы она не заступала на газон и доставала до крыши дома? .Учитель: (звучит музыка) Закройте глаза, на несколько минут мы окунемся в историю. Мы с вами в Древнем Египте. Вот на верфях египтяне строят свои знаменитые корабли. А вот землемеры, они измеряют участки земли, границы которых смылись после разлива Нила. Строители строят грандиозные пирамиды, которые до сих пор поражают нас своим великолепием. Во всех этих видах деятельности египтянам необходимо было использовать прямые углы. Они умели строить их с помощью веревки с 12ю завязанными на одинаковом расстоянии друг от друга узелками. Попробуйте и вы, рассуждая как древние египтяне, построить с помощью своих веревок прямоугольные треугольники. (Решая эту проблему, ребята работают в группах по 4 человека. Через некоторое время на планшете у доски кто-то показывает построение треугольника). Стороны полученного треугольника 3, 4 и 5. Если между этими узлами завязать еще по одному узлу, то его стороны станут 6, 8 и 10. Если по два – 9, 12 и 15. Все эти треугольники являются прямоугольными т. к. 52 = 32 + 42, 102 = 62 + 82, 152 = 92 + 122 и т.д. Каким свойством должен обладать треугольник, чтобы быть прямоугольным? (Учащиеся вспоминают обратную теорему Пифагора). Чем эта теорема отличается от теоремы Пифагора? Ученик: Условие и заключение поменялись местами. Учитель: Дома вы повторяли, как называются такие теоремы. Эта теорема помогает решать задачи, в которых надо выяснить, будут ли треугольники прямоугольными. Задания: 1) Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны: а) 12,37 и 35; б) 21, 29 и 24. 2) Вычислите высоты треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см. IV. Домашнее задание. §9 V. Самостоятельная работа (проводится по индивидуальным карточкам). Учитель: Дома вы повторяли свойства ромба и прямоугольника. Перечислите их (идет беседа с классом). На прошлом уроке мы говорили о том, что Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был спортсменом и участвовал в олимпийских играх. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. К каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми записаны фрагменты афоризмов Пифагора. Ваша задача – решив все задания, составить из полученных фрагментов высказывание и записать его. Комментарии для учителя: Эти карточки раздаются учащимся, из них они составляют афоризмы Пифагора следующим образом: к трем заданиям в карточке приведены варианты ответов и фрагменты высказываний. Ученик решает задачу, получает ответ, ищет его в нижней чести карточки и записывает соответствующую часть афоризма. Таким образом, решив все три задачи, ребенок собирает афоризм из трех частей. Чтобы дети не собирали их наугад – фрагменты афоризмов подобраны с очень близким по смыслу содержанием. Карточка для B – I. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24 см. Вычислите его гипотенузу. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. СО = 10см, CD = 12 см. Вычислите сторону ВС. Является ли треугольник со сторонами 15, 39 и 36 см прямоугольным? Ответ обоснуйте. 26 – не гоняйся за счастьем 32 – оно присутствует “да” – в тебе самом 676 – не бегай за счастьем 16 – оно всегда находится “нет” – около тебя Ответ: Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом. Карточка для B – II. Вычислите катет прямоугольного треугольника, если две другие его стороны равны 8 и 17 см. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. BD = 16см, ОС = 6см. Вычислите длину стороны ромба. Является ли треугольник со сторонами 15, 20 и 27 см прямоугольным? Ответ обоснуйте. 225 – формулы 10 – управляют “нет” – миром 15 – числа 14 – правят “да” – всем Ответ: Числа управляют миром. Карточки для B – III Вычислите катет прямоугольного треугольника, если две другие его стороны равны 15 и 17 см. В ромбе АBCD диагонали пересекаются в точке О. АС = 12см, ВО = 8см. Вычислите длину стороны ромба. Является ли треугольник со сторонами 18, 30 и 21 см прямоугольным? Ответ обоснуйте. 8 – либо молчи 10 – либо говори то “да” – что интересно всем 64 – хочешь-молчи 14 – или говори о том “нет” – ценнее молчания Ответ: Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания. Карточки для B – IV Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9 см. Вычислите его гипотенузу. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. АО = 10см, AD = 16см. Вычислите сторону АВ. Является ли треугольник со сторонами 14, 48 и 50 см прямоугольным? Ответ обоснуйте. 15 – из двух спорящих 26 – прав тот “да” – кто умнее 225 – в споре 12 – неправ тот “нет” – кто глупее Ответ: Из двух спорящих неправ тот, кто умнее. ________________________________________Урок № 27-28 Тема: Решение задач Цели урока: 1. Закрепить умение применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении задач. 2. Развитие логического мышления, навыков самоконтроля. 3. Воспитание культуры математической речи, уважительного отношения к мнению окружающих. Тип урока: урок закрепления и обобщения полученных знаний Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная Оборудование: • персональный компьютер • экран • авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point • карточки с заданиями Структура урока 1. Организационный момент 2. Актуализация имеющихся знаний обучающихся по теме (решение задач по готовым чертежам) 3. Решение практических и древних задач 4. Проверочная работа с самоконтролем 5. Домашнее задание Ход урока 1. Организационный момент урока: приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей). Тема урока на слайде 1.(1-2 минуты) 2. Актуализация знаний, полученных учащимися на предыдущем уроке (5 минут): • Формулировка теоремы Пифагора; • Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора С целью актуализации знаний обучающимся предлагаются задачи по готовым чертежам. 2.1. Слайд 2. Найти неизвестную сторону треугольника. 2.2. Слайд 3. Найти неизвестную сторону треугольника (Правильный ответ: невозможно найти неизвестную сторону, т.к. недостаточно данных. После введения дополнительного условия обучающиеся отвечают на поставленный вопрос.) 2.3. Слайд 4. Решите задачу (нахождение периметра ромба с использованием теоремы Пифагора) 2.4. Слайд 5. Задача на применение теоремы, обратной теореме Пифагора 3 Закрепление теоремы Пифагора при решении практических и древних задач (20 минут). 4.1. Задача №1 (слайд6 «Древнерусская задача». Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях, 1 ученик работает у доски. (Ответ: 44 стопы). 4.2. Задача №2 (слайд 7 «Тополь у реки» - для устного решения. (Ответ: 8 футов). 4.3. Задача №3 (слайд 8. Нахождение длины главной аллеи Центрального парка города Новосибирска. Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях, 1 ученик работает у доски. (Ответ: 412 м). 4.4. Задача №4 (Слайд 9.)Решение задачи сводится к составлению системы алгебраических уравнений. (Ответ: 48 см). 5. Самостоятельная работа с самоконтролем (10 минут). Учащимся предлагаются карточки (см. приложение) с заданиями на 2 варианта по 5 задач. Фамилию и ответы учащиеся записывают на карточках, а краткое решение в тетрадях. После того, как карточки собраны, учащимся предлагается проверить решения (Слайды 10,11 6. Домашнее задание Урок № 29 Контрольная работа Урок № 30 Тема: Основные тригонометрические тождества Цели: Образовательная – знать формулы, выражающие основные тригонометрические тождества, уметь применять в упрощении выражений и доказательстве тождеств. Развивающая – развитие памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать Воспитательная - воспитание трудолюбия, ответственности, аккуратности, навыков самоконтроля Тип урока: формирование знаний и умений Ход урока: 1. Опрос домашнего задания: Фронтальный опрос: Что используется для вычисления значений тригонометрических функций угла 45? По рис. на доске объясните, как это делается. Что используется для вычисления значений тригонометрических функций угла 30? По рис. на доске объясните, как это делается. Как вычисляются значения тригонометрических функций угла 60? Таблица значений – в начале учебника на форзаце (показать), но лучше их помнить, так как значения тригонометрических функций этих углов очень часто встречаются при решении задач. 2. Обьяснение нового материала. Полезно также по данному значению одной из тригонометрических функций угла уметь находить точные значения остальных тригонометрических функций этого же угла. Для этого выведем несколько соотношений, используя определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, введя стандартные обозначения (см. рис. ). Вспомним и выпишем определения: ; ; . 1) . Полученное тождество: sin2 + cos2 = 1 – тригонометрическая форма теоремы Пифагора или основное тригонометрическое тождество; 2) ; 3) ; 4) . Эти соотношения могут применяться не только для вычислений, но и для упрощения тригонометрических выражений. 3. Закрепление пройденного. Упражнения. 1) (письменно на доске и в тетрадях с подробной записью) Дано: tg = . Найти: sin; cos. [Решение. ; ; ; ; ; ] 3) §10, №144 4) Упростите выражения (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): а) sin4 – cos4 + 1 [2 sin2] б) (1 – tg4)cos2 [1 – tg2] в) sin6 + cos6 + 3sin2cos2 [1; два способа!] 4. Домашнее задание : §10, №145, 147 Урок №31 Тема урока: Решение задач с использованием основных тригонометрических тождеств Цель урока: образовательная - научить применять основные тригонометрические тождества в упрощении выражений и при нахождении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника развивающая - развитие памяти,любознательности и интереса к предмету воспитательная - воспитание добросовестного отношения к учёбе Наглядность: интерактивная доска, кубик Ход урока: 1) Оргмомент 2) проверка домашнего задания 3) решение задач 4) метод кубизма 5) Тестовые вопросы 6) оценивание и обобщение 7) домашнее задание I. Опрос пройденного: а) дай определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника б) сформулировать теорему Пифагора в) что называют синусом угла? г) что называют тангенсом угла? д) назови основные тригонометрические тождества 1) cos α 2) sin2 α + cos2 α = 1 sin α 1 + tg2 α tg α 1 + II. Решение задач а) Упростить выражения: a) (sin α + cos α)2 + (sin α - cos α)2 = sin2 α + 2sin α cos α + cos2 α + sin2 α – 2sin α cos α + cos2 α = 2sin2 α + 2cos2 α = 2(sin2 α + cos2 α) = 2 б) сos α * tg α + sin α = cos α * + sin α = sin α + sin α = 2sin α в) г) №145: упростить выражения 2) 1-sin2 α = cos2 α 3) (1-cos α)(1+cos α) = 1-cos2 α = sin2 α 4) 1 + sin2 α + cos2 α = 1+1 = 2 5) sin α – sin α * cos2 α = sin α * (1 – cos2 α) = sin α * sin2 α = sin3 α 6) sin4 α + cos4 α + 2sin2 α * cos2 α = (sin2 α + cos2 α)2 = 1 7) tg2 α – sin2 α * tg2 α = tg2 α (1 – sin2 α) = tg2 α * cos2 α = * cos2 α = sin2 α 8) cos2 α + tg2 α * cos2 α = cos2 α (1 + tg2 α) = cos2 α * = 1 9) tg2 α * (2cos2 α + sin2 α - 1) = tg2 α (2cos2 α – cos2 α) = * cos2 α = sin2 α Метод кубизма: 1) Исследуйте: Исследуй историю развития тригонометрии. Впервые слово «Тригонометрия» встречается в 1505 году в книге немецкого математика Питикуста. В переводе с греческого тригонон – треугольник, метро – меряю. Другими словами говоря, тригонометрия – это наука измерения треугольников. 2) Исследуйте: Исторические сведения о синусе, косинусе, тангенсе. 3) Опишите Пифагора(исторические сведения). c2 = a2 + b2 Определение теоремы. 4)Применение: Как и где можно применить эти тождества? Для чего они нужны (области применения, привести примеры). Тест соответствия. 1 2 3 4 5 A Б В Г Д 0 -sin 1 6 7 8 9 10 Е Ж З И К Оценивание и обобщение. Подводя итоги можно сказать, что сегодня на уроке вы научились применять тригонометрические тождества, узнали историю создания тождеств, познакомились с областями их применения. Домашнее задание: п.10, № 147,148 Урок №32 Тема: Значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов 30° , 45° , 60° Цели: Образовательная – научиться находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса по данному значению одного из них и решать задачи с применением тригонометрических тождеств и таблицы их значений. Развивающая - развитие коммуникативных навыков через работу в малых группах, парах; формирование умения правильно и математически грамотно выражать свои мысли, вести диалог, дискуссию; развитие аналитических способностей учащихся Воспитательная – воспитание трудолюбия, взаимопомощи, развитие математической речи и активизация познавательной деятельности. Тип: комбинированный Оборудование: интерактивная доска, бумажные ромашки, фломастеры Ход урока: I. Актуализация имеющихся знаний. 1). На доске нарисован прямоугольный треугольник с заданными сторонами a, b, c и угламиα, β,γ. Учащиеся делятся на группы по четыре человека. Каждая группа на своей ромашке своим фломастером записывает все известные понятия по теме (синус, косинус, тангенс острого угла, прилежащий катет, противолежащий катет, свойство, построение угла по данному значению синуса, косинуса или тангенса). По сигналу учителя группы меняются местами и дописывают то, чего нет на ромашке другой группы. Ничего исправлять нельзя, записи делать только своим цветом. Так происходит до тех пор, пока группа не вернется на своё место. Анализируют все записи и одна из групп представляет свою ромашку на интерактивной доске (учитель заранее готовит таблички с возможными записями). Лепестков у ромашки должно быть больше, чем дети смогут предложить терминов, т.к. не вся тема к этому времени изучена. В результате у детей будет сформировано представление о том, что они должны к этому моменту знать. 2). С целью конкретизации имеющихся знаний проводится фронтальный опрос: - Что такое синус (косинус, тангенс) острого угла прямоугольного треугольника? - Чему равен синус (косинус, тангенс) острого угла прямоугольного треугольника, если его стороны равны 3, 4,5? - Как построить угол, если его тангенс равен 2? - Зависит ли значение синуса (косинуса, тангенса) от треугольника? - Какие значения могут принимать синус (косинус, тангенс) острого угла прямоугольного треугольника? - Существует ли какая-то связь между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника? - Можно ли, зная градусную меру угла, найти значение тригонометрических функций? II. Новая тема. До сих пор мы находили значения синуса, косинуса и тангенса углов, длины сторон. Можно ли найти значения, зная градусную меру угла? (еще раз напомнить, что значение не зависит от треугольника). - Сначала найдём значения sin, cos, tg и ctg для угла 30°. Пусть дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого с – гипотенуза, а и b – катеты, противолежащие соответственно углам Аи В. Пусть А=30°. В а с А С b b •Вычисление значений для угла 30° совместно. В результате приходим к выводу: Sin 30°=1/2, соs 30°=√3/2, tg 30°= √3/3, значит сtg 30°=√3 Вычисление значений для углов 45° и 60°. (по две группы) Работа в группах. Представление результатов, которые оформляются в виде таблицы: α 30° 45° 60° Sin 1/2, √2/2 √3/2 соs √3/2, √2/2 1/2 tg √3/3 1 √3 сtg √3 1 √3/3 Выделить для запоминания, что: Sin45 ° =cos45° Sin30° =cos60° cos30° = sin60° tg30 ° = ctg60° ctg30 ° =tg60° III. Закрепление (работа у доски). Вычислить: 1) tg45 ° +sin217 ° +cos2 17° = ? 2) 4cos60° sin45 ° = ? 3) tg30° cos30 °sin45° tg45° = ? 4) 2sin30° cos30° = ? IV. Домашнее задание. §11, №155,156 , выучить таблицу значений тригонометрических функций основных углов. Урок №33 Тема: Решение задач с применением тригонометрических тождеств и таблицы значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов углов 30° ,45° , 60°. Цели: Образовательная - научить решать задачи с применением тригонометрических тождеств и таблицы значений. Развивающая - развитие умений применять теоретические знания на практике; развитие памяти, внимания, наблюдательности: воспитательная: воспитывать чувство ответственности и сопереживания, познавательный интерес к предмету. Тип урока: закрепление и повторение знаний, умений Ход урока: I. Проверка усвоения изученного материала 1) Фронтальный опрос 2) Заполнение таблицы значений (на интерактивной доске) 3) Тестовые задания по вариантам: I-вариант А В С D tg45° cos45° 1 √3/3 √2/2 0 (1-cosα) сtg2 α cos2α 1 sin α ctg α Cos70 ° =sin α 50° 70° 20° 10° Sin45° cos60° tg30° √6/6 √2/2 1 √6/12 (1+tg2α)cos2 α -sin2 α √3 cos2α sin α sin 2α II вариант A B C D Ctg30° sin30° 0 1 √3/2 √2/2 (sin2 α -1) tg2α cos2α sin 2α 1 0 Sin 15° =cosα 20 15 75 90 Cos45° sin30 °ctg60° √6/12 √6/3 √6/2 √6/4 (1+ctg2 α )sin2 α +tg2α cos2α 1- cos2α 1/ сos2α Sin2 α (ответы проверить сразу) II. Релаксация «Любимый образ». Закрывают глаза, представляют себя в спокойной обстановке, когда им легко и свободно. В классе играет тихая спокойная музыка III. Решение задач 1. (с учебника) №151, 152 (2), 2. Упражнения. 1) (письменно на доске и в тетрадях с подробной записью) Дано: tg = . Найти: sin; cos. [Решение. ; ; ; ; ; ] 4) Упростите выражения (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске): а) sin4 – cos4 + 1 [2 sin2] б) (1 – tg4)cos2 [1 – tg2] в) sin6 + cos6 + 3sin2cos2 [1; два способа!] 5.Рассмотрим несколько задач, в которых не обойтись без применения значений тригонометрических функций конкретных углов. В таких задачах очень важно рационально выбирать переменные и чередовать применение геометрических фактов и тригонометрических функций! Письменно (на доске и в тетрадях с краткими записями): 1) В данном параллелограмме АВСД с острым углом 60, к основанию АД проведена высота ВК. Найти значение этой высоты. Рис.1 [см. рис. 1: BDA = 30, значит, АBD = 90; |AK| = x; |AB| = 2x; |AD| = 4x; 2x + 4x = 0,5p; x = ; |BK| = x = ; |BD| = 2|BK| = ] 2) Дана трапеция АВСД, где ВС║АД, А=60° , отрезок, проведённый из вершины В параллельно стороне СД, образует угол 45° . Найти высоту ВР. Рис. 2 [см. рис. 2: BAD = 60; BKA = 45; |BC| = |DK| = (дм); |AK| = 3 + (см); |AP| = x; |BP| = |PK| = x ; x + x = 3 + ; x = ; |BP| = 3 дм; |АВ| = 2 дм; |CD| = 3 дм] IV. Домашнее задание: выучить табличные значения тригонометрических функций углов 30, 45, 60; решить задачи: №154 ; №157 (по вариантам). Урок № 34 Контрольная работа за II четверть | |
| Просмотров: 9056 | Загрузок: 1621 | Комментарии: 2 | | |
Воскресенье, 2025-01-12, 10:35 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Категории раздела | |||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|