Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Учительские университеты

Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика

Открытый урок в 11 классе по теме "Первообразная и интеграл"
Урок обобщающего повторения по теме «Первообразная и интеграл»

Цель урока: Систематизация знаний по теме « Первообразная и интеграл».
Задачи урока:
обучающие: привести в систему теоретические знания по теме «Первообразная и интеграл»; закрепление навыков решения задач; определение сферы практического применения знаний.
развивающие: развитие мыслительных операций (проведение аналогии, анализ, синтез); развитие логического мышления.
воспитательные: формирование чувства коллективизма; умение выслушивать ответы товарищей; прививать интерес к предмету.
Оборудование урока: проектор, карточки с заданиями …
Ход урока:
1.Вступительное слово учителя.
2. Разминка ( теория)
3. Математический диктант по формулам.
4. Устная работа
5. Групповая работа.
6. Применения первообразной и интеграла при решении задач.
7. Подведение итогов урока.
Вступительное слово учителя. Ребята сегодня мы совершим путешествие по одной из очень важной из тем математики, которая имеет свое применение не только в алгебре, но и в физике и геометрии и других предметах..
Разминка.
1. Что называют первообразной для функции f(x) на данном множестве? (Если для любого х из множества Х выполняется равенство F '(x) = f(x), то функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве).
2. Что называется неопределенным интегралом для функции f(x)? (Совокупность всех первообразных функций F(x) +С для данной функции f(x)).
3. Дайте понятие криволинейной трапеции? (Фигура, ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции у = f(x), прямыми х = а, х = в и осью Ох, называется криволинейной трапецией).
4. Почему ∫_а^в▒〖f(x)〗 dx называется определенным интегралом? (Потому что при конкретных значениях а и в функция f(x), непрерывная на отрезке [а; в⦌ обязательно стремиться к некоторому числу S – площадь криволинейной трапеции).
5. Назовите формулу Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции? (∫_а^в▒〖f(x)〗 dx = F(в) - F(а) )
6. Перечислите правила нахождения первообразной?
Правило 1. Если F(x) есть первообразная для f(x) , a P(x) – первообразная для p(x) , то F(x) + P(x) есть первообразная для f(x)+ p(x).
Правило 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) , a k – постоянная, то k F(x) – первообразная для k f(x).
Правило 3. Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k ≠ 0, то 1/k F( kx + b) есть первообразная для f( kx + b).
Математический диктант. «Составь формулу»
Функции и первообразные расставлены по таблице неправильно. Задача учащихся составить соответствие: номеру из числа функции – правильную первообразную.
Функция Общий вид первообразных
1 f(x) = k (k - постоянная ) 1 F(x) = sin⁡x + C
2 f(x) = x n , n ∊Z , n ≠ -1 2 F(x) = tg x + C
3 f(x) = 1/√x 3 F(x) = ln |x| + C
4 f(x) = sin⁡x 4 F(x) = e x + C
5 f(x) = cos⁡x 5 F(x) = - ctg x + C
6 f(x) = 1/sin^2⁡x 6 F(x) = a^x/ln⁡a + C
7 f(x) = 1/cos^2⁡x 7 F(x) = - cos⁡x + C

8 f(x) = 1/x 8 F(x) = kx + C
9 f(x) = e x 9 F(x) = 2√x + C
10 f(x) = a x 10 F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C
Ответы: 1 -8, 2 – 10, 3 -9 , 4 – 7, 5 – 1, 6 – 2, 7 – 5, 8 – 3, 9 – 4, 10 – 6.
Устная работа
Найдите первообразные следующих функций:

f (x) = 3x F(x) = (3x^2)/2 +C
f (x) = 2 sin x F(x) = - 2 cos x +C
f (x) = 5 cos x F(x) = 5 sin x +C
f (x) = 4x2+x-2 F(x) = (4x^3)/3 +x^2/2 -2x+C

f (x) = (2x+5)5 F(x) = 〖(2x+5)〗^6/12 +C
f (x) = 2/(2x-1) F(x) = ln |2x-1| +C
f (x) = e^(3x+2) F(x) = 1/3 e^(3x+2 )+C

Вычислите интегралы:

∫_0^1▒〖x dx〗 ( (1 )/( 2 ))
∫_0^2▒〖x^2 dx〗 ( 8/3 )

∫_0^(π/2)▒〖 sin x dx〗 ( 1)
∫_0^(π/4)▒〖 cosx dx〗 (√2/2 )

Групповая работа (кто быстрее)
Найдите первообразные функции, применяя формулы тригонометрии:
f(x) = 2sin x cos x F(x) = - 1/( 2 ) cos 2x +C
f(x) = cos2 x – sin2x F(x) = 1/( 2 ) sin 2x +C
f(x) = sin 5x cos 3x - cos 5x sin 3x F(x) = - 1/( 2 ) cos 2x +C
Решение задач
Решение геометрических задач. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями существует 3 случая. Рассмотрим способы их решения.

2) 3)

Х1 х2 х1 х2 х1 х2 х3

S = ∫_(x_1)^(x_2)▒f(x)dx S = ∫_(x_1)^(x_2)▒〖(f(x)-g(x))dx〗 S = ∫_(x_1)^(x_2)▒〖(f(x)-g(x))dx〗 +
+ ∫_(x_2)^(x_3)▒〖(f(x)-v(x))dx〗
Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
(работа у доски)
1 группа 2 группа
y = 1/x , y = 0, x = 1, x = 3 1) y = 1/x , y = 0, x = 4, x = 10
y = x2 , y = 3 -2x y = x2, y = 2x
Решение:
1 группа: 1). S = ∫_1^3▒〖 1/x〗 dx = ln⁡x |_1^3 = ln⁡3 - ln⁡1 = ln⁡3
2). х2 =3 - 2х , х1 = -3, х2 = 1 S = ∫_(-3)^1▒〖(3-2х-х^2 〗) dx = (3х –х2 - х^3/3) |_(-3)^1 = 3 – 1 - 1/3 +9 + 9 – 9 = 10 2/3 у.е.
группа: 1) S = ∫_4^10▒〖 1/x〗 dx = ln⁡x |_4^10 = ln⁡10 - ln⁡4 = ln⁡〖10/4〗
2)х2 = 2х , , х1 = 0, х2 = 2, S = ∫_0^2▒〖(2х-х^2 〗) dx = (х2 - х^3/3) |_0^2 = 4 - 4/3 = 2 2/3 у.е.
Решение физических задач.
Учитель: Как известно математика имеет тесную связь с другими учебными предметами. Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяется сегодня в различных областях научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, химии, биологии, экономике и т.д. Рассмотрим применение определенного интеграла в решении физических задач. Существует четыре формулы для решения физических задач, и некоторые из них мы уже применяли на уроках: A = ∫▒F(x)dx (работа через силу ); q = ∫▒I(t)dt ( количество электричества через силу тока ; m = ∫▒p(x)dx (масса тела через его плотность) ; ω = ∫▒ϕ(t)dt (угловая скорость через угол)
Задание для групп:
1 группа: Сила тока в цепи изменяется по закону I (t) = 3t2 – 2t + 1 (A). Определите количество электричества q , прошедшее через поперечное сечение проводника, за время от 2 до 6 секунд.
2 группа: Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью ω = 2t + 3 (рад/с). На какой угол ϕ она повернется за промежуток времени от 1 до 3 секунд?
Решение:
1группа: q(t) = ∫_2^6▒〖 I (t)〗 dx = ∫_2^6▒〖 (3t^2 – 2t + 1)〗 dx = ( (3t^3)/3 - (2t^2)/2 + t ) |_2^6 = (t3 – t2 + t) |_2^6 = 63 – 62 + 6 – 23 +22 – 2 = 216 – 36 + 6 – 8 + 4 – 2 = 180
2 группа: ϕ (t)= ∫_1^3▒ω (t) dx = ∫_1^3▒( 2t + 3) dx = ( (2t^2)/2 + 3t) |_1^3 = (t2 + 3t) |_1^3 = 9 + 9 – 1 – 3 = 14
Контрольное тестирование.
1 вариант 2 вариант
Какая функция является первообразной для функции
f(x) = 5x4 – 2x
F(x) = 20x4 +8 ;
F(x) = x5 + x2 ;
F(x) = 20x4 – 8 ;
F(x) = x5 – x2 ;
Вычислите: ∫▒sin⁡3x dx
sin⁡3x +C ;
1/3 sin⁡3x +C ;
- cos⁡3x + C ;
-1/3 cos⁡3x +C ;
Вычислите: ∫▒〖(3x^2-2x+1)〗 dx
6x – 2 +C ;
x3 – x2 + x + C ;
x3 – x2 + 1 + C ;
3x3 –2 x2 + x + C ;
Назовите первообразную для функции f(x) = (x + 1)21
F(x) = 〖(x+1)〗^22/22 +C ;
F(x) = 〖(x+1)〗^20/20+C ;
F(x) = 〖(x+1)〗^21/22 +C;
F(x) = 21 (x+1)20 + C .
Вычислите: ∫▒2/sin^2⁡x dx
- 1/2 ctg x + C;
2 ctg x + C ;
- 2 ctg x + C ;
1/2 ctg x + C ;
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2, х = 1, х = 3, у =0.
а) 9;
b) 26;
c) 8;
d) 11.

7. Найдите первообразную функции: у = х3 + 1/х
a) x^4/4 + ln [x] + c ;
b) x^4/3 - ln [x] + c ;
c) x^4/4 - 1/x^2 + c ;
d) x^3/3 + 1/x^2 + c
Какая функция является первообразной для функции
f(x) = 3x2 – 4x3
F(x) = 6x -12 ;
F(x) = x3 – x4 ;
F(x) = 6x + 12 ;
F(x) = x3 + x4 .
Вычислите: ∫▒cos⁡2x dx
a) cos⁡2x +C ;
b) 1/2 〖 cos〗⁡2x +C ;
sin⁡2x + C ;
1/2 sin⁡2x +C ;
Вычислите: ∫▒〖(5x^4 〗 - 3x2 + 1)dx
20x3 – 6x +C ;
x5 – x3 + 1 + C ;
x5 – x3 + x + C ;
5x5 –3 x3 + x + C.
Назовите первообразную для функции f(x) = (x + 3)13
F(x) = 〖(x+3)〗^14/14 ;
F(x) = 〖(x+3)〗^12/12 ;
F(x) = 〖(x+3)〗^13/14 ;
F(x) = 13 (x+3)12 .
Вычислите: ∫▒5/cos^2⁡x dx
5 tg x + C ;
-5 tg x + C ;
1/5 tg x + C ;
- 1/5 tg x + C.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х3, х = 1, у =8.
а) 12 1/(4 );
b) 4 1/4 ;
c) 3 3/4 ;
d) 4.
7. Найдите первообразную функции: у = 3/(7х+1)
a) ln [x+ 1] + c;

b) ln [7x + 1] + c
c) 1/7 ln [7x + 1] + c
d) 3/7 ln [7x + 1] + c

Ключ к тесту: I вариант: 1 - d ; 2 - d ; 3 - b ; 4 – a ; 5 -c ; 6 - ; 7 - а ;
II вариант: 1 - b; 2 - d; 3 - c ; 4 - a ; 5 - a ; 6 - ; 7 - с ;
Подведение итогов урока.
Д/З : № 441 стр. 201, повторить нахождение объема тела, полученного вращением фигуры около данной оси.

Источник: http://математика, открытый урок
Категория: Математика | Добавил: lyubov_ivanovna_59 (2015-01-18) | Автор: Ященко Любовь Ивановна E W
Просмотров: 841 | Комментарии: 4 | Теги: Ященко Любовь Ивановна, первообразная и интеграл | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Вторник, 2016-12-06, 10:48 PM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Русский язык и литература [1474]
Школьный психолог [501]
История [695]
Опыт [471]
Научная кафедра [216]
Воспитание души [216]
Мастер-класс [205]
Семья и школа [173]
Компьютер-бум [247]
Английский язык [769]
Великие открытия [17]
Университет здоровья [127]
Математика [1137]
Химия [374]
Классному руководителю [622]
Биология [577]
Думаем, размышляем, спорим [89]
Казахский язык и литература [1762]
Краеведение [92]
Начальная школа [3903]
Беседы у самовара [15]
Мировая художественная культура [38]
Новые технологии в обучении [352]
Сельская школа [70]
Профильное обучение [68]
Демократизация и школа [23]
Физика [289]
Экология [179]
Дошколенок [1484]
Особые дети [271]
Общество семи муз [56]
Школа и искусство
Уроки музыки [612]
Авторские разработки учителя музыки СШ № 1 г. Алматы Арман Исабековой
География [440]
Мой Казахстан [227]
Школьный театр [66]
Внеклассные мероприятия [1154]
Начальная военная подготовка, гражданская оборона, основы безопасности жизнедеятельности [72]
ИЗО и черчение [212]
Физическая культура [514]
Немецкий язык [51]
Технология [280]
Самопознание [379]
Профессиональное образование [100]
Школьная библиотека [73]
Летний лагерь [13]
Дополнительное образование [8]
Педагогические программы [2]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru