Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Открытый урок в 11 классе по теме "Первообразная и интеграл"
| Урок обобщающего повторения по теме «Первообразная и интеграл» Цель урока: Систематизация знаний по теме « Первообразная и интеграл». Задачи урока: обучающие: привести в систему теоретические знания по теме «Первообразная и интеграл»; закрепление навыков решения задач; определение сферы практического применения знаний. развивающие: развитие мыслительных операций (проведение аналогии, анализ, синтез); развитие логического мышления. воспитательные: формирование чувства коллективизма; умение выслушивать ответы товарищей; прививать интерес к предмету. Оборудование урока: проектор, карточки с заданиями … Ход урока: 1.Вступительное слово учителя. 2. Разминка ( теория) 3. Математический диктант по формулам. 4. Устная работа 5. Групповая работа. 6. Применения первообразной и интеграла при решении задач. 7. Подведение итогов урока. Вступительное слово учителя. Ребята сегодня мы совершим путешествие по одной из очень важной из тем математики, которая имеет свое применение не только в алгебре, но и в физике и геометрии и других предметах.. Разминка. 1. Что называют первообразной для функции f(x) на данном множестве? (Если для любого х из множества Х выполняется равенство F '(x) = f(x), то функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве). 2. Что называется неопределенным интегралом для функции f(x)? (Совокупность всех первообразных функций F(x) +С для данной функции f(x)). 3. Дайте понятие криволинейной трапеции? (Фигура, ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции у = f(x), прямыми х = а, х = в и осью Ох, называется криволинейной трапецией). 4. Почему ∫_а^в▒〖f(x)〗 dx называется определенным интегралом? (Потому что при конкретных значениях а и в функция f(x), непрерывная на отрезке [а; в⦌ обязательно стремиться к некоторому числу S – площадь криволинейной трапеции). 5. Назовите формулу Ньютона – Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции? (∫_а^в▒〖f(x)〗 dx = F(в) - F(а) ) 6. Перечислите правила нахождения первообразной? Правило 1. Если F(x) есть первообразная для f(x) , a P(x) – первообразная для p(x) , то F(x) + P(x) есть первообразная для f(x)+ p(x). Правило 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) , a k – постоянная, то k F(x) – первообразная для k f(x). Правило 3. Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k ≠ 0, то 1/k F( kx + b) есть первообразная для f( kx + b). Математический диктант. «Составь формулу» Функции и первообразные расставлены по таблице неправильно. Задача учащихся составить соответствие: номеру из числа функции – правильную первообразную. Функция Общий вид первообразных 1 f(x) = k (k - постоянная ) 1 F(x) = sinx + C 2 f(x) = x n , n ∊Z , n ≠ -1 2 F(x) = tg x + C 3 f(x) = 1/√x 3 F(x) = ln |x| + C 4 f(x) = sinx 4 F(x) = e x + C 5 f(x) = cosx 5 F(x) = - ctg x + C 6 f(x) = 1/sin^2x 6 F(x) = a^x/lna + C 7 f(x) = 1/cos^2x 7 F(x) = - cosx + C 8 f(x) = 1/x 8 F(x) = kx + C 9 f(x) = e x 9 F(x) = 2√x + C 10 f(x) = a x 10 F(x) = x^(n+1)/(n+1) + C Ответы: 1 -8, 2 – 10, 3 -9 , 4 – 7, 5 – 1, 6 – 2, 7 – 5, 8 – 3, 9 – 4, 10 – 6. Устная работа Найдите первообразные следующих функций: f (x) = 3x F(x) = (3x^2)/2 +C f (x) = 2 sin x F(x) = - 2 cos x +C f (x) = 5 cos x F(x) = 5 sin x +C f (x) = 4x2+x-2 F(x) = (4x^3)/3 +x^2/2 -2x+C f (x) = (2x+5)5 F(x) = 〖(2x+5)〗^6/12 +C f (x) = 2/(2x-1) F(x) = ln |2x-1| +C f (x) = e^(3x+2) F(x) = 1/3 e^(3x+2 )+C Вычислите интегралы: ∫_0^1▒〖x dx〗 ( (1 )/( 2 )) ∫_0^2▒〖x^2 dx〗 ( 8/3 ) ∫_0^(π/2)▒〖 sin x dx〗 ( 1) ∫_0^(π/4)▒〖 cosx dx〗 (√2/2 ) Групповая работа (кто быстрее) Найдите первообразные функции, применяя формулы тригонометрии: f(x) = 2sin x cos x F(x) = - 1/( 2 ) cos 2x +C f(x) = cos2 x – sin2x F(x) = 1/( 2 ) sin 2x +C f(x) = sin 5x cos 3x - cos 5x sin 3x F(x) = - 1/( 2 ) cos 2x +C Решение задач Решение геометрических задач. Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями существует 3 случая. Рассмотрим способы их решения. 2) 3) Х1 х2 х1 х2 х1 х2 х3 S = ∫_(x_1)^(x_2)▒f(x)dx S = ∫_(x_1)^(x_2)▒〖(f(x)-g(x))dx〗 S = ∫_(x_1)^(x_2)▒〖(f(x)-g(x))dx〗 + + ∫_(x_2)^(x_3)▒〖(f(x)-v(x))dx〗 Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (работа у доски) 1 группа 2 группа y = 1/x , y = 0, x = 1, x = 3 1) y = 1/x , y = 0, x = 4, x = 10 y = x2 , y = 3 -2x y = x2, y = 2x Решение: 1 группа: 1). S = ∫_1^3▒〖 1/x〗 dx = lnx |_1^3 = ln3 - ln1 = ln3 2). х2 =3 - 2х , х1 = -3, х2 = 1 S = ∫_(-3)^1▒〖(3-2х-х^2 〗) dx = (3х –х2 - х^3/3) |_(-3)^1 = 3 – 1 - 1/3 +9 + 9 – 9 = 10 2/3 у.е. группа: 1) S = ∫_4^10▒〖 1/x〗 dx = lnx |_4^10 = ln10 - ln4 = ln〖10/4〗 2)х2 = 2х , , х1 = 0, х2 = 2, S = ∫_0^2▒〖(2х-х^2 〗) dx = (х2 - х^3/3) |_0^2 = 4 - 4/3 = 2 2/3 у.е. Решение физических задач. Учитель: Как известно математика имеет тесную связь с другими учебными предметами. Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяется сегодня в различных областях научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, химии, биологии, экономике и т.д. Рассмотрим применение определенного интеграла в решении физических задач. Существует четыре формулы для решения физических задач, и некоторые из них мы уже применяли на уроках: A = ∫▒F(x)dx (работа через силу ); q = ∫▒I(t)dt ( количество электричества через силу тока ; m = ∫▒p(x)dx (масса тела через его плотность) ; ω = ∫▒ϕ(t)dt (угловая скорость через угол) Задание для групп: 1 группа: Сила тока в цепи изменяется по закону I (t) = 3t2 – 2t + 1 (A). Определите количество электричества q , прошедшее через поперечное сечение проводника, за время от 2 до 6 секунд. 2 группа: Материальная точка движется по окружности с угловой скоростью ω = 2t + 3 (рад/с). На какой угол ϕ она повернется за промежуток времени от 1 до 3 секунд? Решение: 1группа: q(t) = ∫_2^6▒〖 I (t)〗 dx = ∫_2^6▒〖 (3t^2 – 2t + 1)〗 dx = ( (3t^3)/3 - (2t^2)/2 + t ) |_2^6 = (t3 – t2 + t) |_2^6 = 63 – 62 + 6 – 23 +22 – 2 = 216 – 36 + 6 – 8 + 4 – 2 = 180 2 группа: ϕ (t)= ∫_1^3▒ω (t) dx = ∫_1^3▒( 2t + 3) dx = ( (2t^2)/2 + 3t) |_1^3 = (t2 + 3t) |_1^3 = 9 + 9 – 1 – 3 = 14 Контрольное тестирование. 1 вариант 2 вариант Какая функция является первообразной для функции f(x) = 5x4 – 2x F(x) = 20x4 +8 ; F(x) = x5 + x2 ; F(x) = 20x4 – 8 ; F(x) = x5 – x2 ; Вычислите: ∫▒sin3x dx sin3x +C ; 1/3 sin3x +C ; - cos3x + C ; -1/3 cos3x +C ; Вычислите: ∫▒〖(3x^2-2x+1)〗 dx 6x – 2 +C ; x3 – x2 + x + C ; x3 – x2 + 1 + C ; 3x3 –2 x2 + x + C ; Назовите первообразную для функции f(x) = (x + 1)21 F(x) = 〖(x+1)〗^22/22 +C ; F(x) = 〖(x+1)〗^20/20+C ; F(x) = 〖(x+1)〗^21/22 +C; F(x) = 21 (x+1)20 + C . Вычислите: ∫▒2/sin^2x dx - 1/2 ctg x + C; 2 ctg x + C ; - 2 ctg x + C ; 1/2 ctg x + C ; Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2, х = 1, х = 3, у =0. а) 9; b) 26; c) 8; d) 11. 7. Найдите первообразную функции: у = х3 + 1/х a) x^4/4 + ln [x] + c ; b) x^4/3 - ln [x] + c ; c) x^4/4 - 1/x^2 + c ; d) x^3/3 + 1/x^2 + c Какая функция является первообразной для функции f(x) = 3x2 – 4x3 F(x) = 6x -12 ; F(x) = x3 – x4 ; F(x) = 6x + 12 ; F(x) = x3 + x4 . Вычислите: ∫▒cos2x dx a) cos2x +C ; b) 1/2 〖 cos〗2x +C ; sin2x + C ; 1/2 sin2x +C ; Вычислите: ∫▒〖(5x^4 〗 - 3x2 + 1)dx 20x3 – 6x +C ; x5 – x3 + 1 + C ; x5 – x3 + x + C ; 5x5 –3 x3 + x + C. Назовите первообразную для функции f(x) = (x + 3)13 F(x) = 〖(x+3)〗^14/14 ; F(x) = 〖(x+3)〗^12/12 ; F(x) = 〖(x+3)〗^13/14 ; F(x) = 13 (x+3)12 . Вычислите: ∫▒5/cos^2x dx 5 tg x + C ; -5 tg x + C ; 1/5 tg x + C ; - 1/5 tg x + C. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х3, х = 1, у =8. а) 12 1/(4 ); b) 4 1/4 ; c) 3 3/4 ; d) 4. 7. Найдите первообразную функции: у = 3/(7х+1) a) ln [x+ 1] + c; b) ln [7x + 1] + c c) 1/7 ln [7x + 1] + c d) 3/7 ln [7x + 1] + c Ключ к тесту: I вариант: 1 - d ; 2 - d ; 3 - b ; 4 – a ; 5 -c ; 6 - ; 7 - а ; II вариант: 1 - b; 2 - d; 3 - c ; 4 - a ; 5 - a ; 6 - ; 7 - с ; Подведение итогов урока. Д/З : № 441 стр. 201, повторить нахождение объема тела, полученного вращением фигуры около данной оси. Источник: http://математика, открытый урок | |
| Просмотров: 2046 | Комментарии: 4 | | |
Четверг, 2024-04-25, 6:56 AM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|