Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Учительские университеты

Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика

НОУ по теме "Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей"
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрілігі Қостанай қаласы әкімшілігінің білім бөлімінің А.М. Горький атындағы гимназиясы Министерство образования и науки Республики Казахстан Гимназия имени А.М. Горького отдела образования акимата города Костаная Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей. секция: математика Орындаушы: Миниченко Владислав .8 сынып Исполнитель: Миниченко Владислав .8 класс Жұмыс жетекшісі: Дьяченко Наталья Валентиновна Математика пәнінің мұғалімі Учитель математики А.М. Горький атындағы гимназиясы г.Костанай 2018 год Оглавление Введение………………………………………………………………………...…3 Глава 1 История возникновения дробей 1.1 Как возникли дроби.……...…………………………………………4-5 1.2 Египетские дроби……………………………………………………6-8 Глава 2 Исследовательская часть 2.1 Действия с аликвотными дробями……………………………..…9-10 Глава 3 Практическая часть 3.1 Решение нестандартных и олимпиадных задач………………...11-15 Глава 4 Заключение. Вывод……………………………………………………………………………..16 Список используемой литературы……………………………………………...17 Абстракт Современная жизнь делает задачи с использованием в решении аликвотных дробей актуальными, так как они составляют обширный класс нестандартных задач. Эти задачи являются частью при подготовке к олимпиадам. А это содействует развитию математических способностей, внимания, повышению познавательного интереса к математике. Объект исследования: аликвотные дроби Цель: изучить применение свойства аликвотных дробей в математике. Задачи: подобрать и изучить литературу и материал в сети интернет по данной теме; научиться решать задачи с применением аликвотных дробей; исследовать методы решения нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей; выпустить сборник «Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей». Гипотеза: Мы предполагаем, что задачи с использованием в решении аликвотных дробей являются неотъемлемой частью при подготовке к олимпиаде по математике. Методы исследования поисковый метод - использование научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; анализ, сравнение и обобщение полученных в ходе исследования данных. Практическая значимость Обобщённый материал данного исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочное время для повышения интереса к математике при подготовке к олимпиадам. Решение задач с применением аликвотных дробей развивает мышление и логику. Введение Обыкновенные дроби - очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без них не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части. С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. Наиболее интересными мы считаем являются аликвотные дроби. С этими числами мы познакомились из курса математики пятого класса, упражнений в учебнике на работу с аликвотными дробями было немного, на дополнительных уроках математики мы решали олимпиадные задания с применением данных дробей. Мы решили создать сборник олимпиадных заданий решаемых с применением аликвотных дробей. Глава 1 История возникновения дробей Как возникли дроби… Слыхали ли Вы о том, как ломают числа? А ведь ломаными числами пользуются и теперь, только называют их иначе. Попробуйте из торта получить четвертинку! Для этого надо разломить или разрезать весь торт на четыре равные части. Так и с числами: чтобы из одного получить половину, надо разделить или «разломить» единицу на два. Вот отсюда и пошло название ломаные числа. Теперь их называют дробями. Если единицу «разломим» на две части, получим дробь 1/(2 ) . Если разделим единицу на три, то получим дробь 1/3. И так далее… И в «Арифметике» преподавателя навигацкой школы Леонтия Филипповича Магницкого были изложены сведения о дробях как о ломаных числах. Вот что там можно прочесть: «Число ломаное… есть токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется ещё Ѕ рубля». Магницкий первым среди русских математиков рассказал, как производить действия с дробями и обыкновенными, и десятичными. В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта. В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси: 1/2 - половина, полтина ; 1/3 – треть; 1/4 – четь ; 1/6 – полтреть ; 1/8 - полчеть ; 1/12 – полполтреть ; 1/16 - полполчеть ; 1/24 – полполполтреть (малая треть) 1/32 – полполполчеть (малая четь) ; 1/5 – пятина ; 1/7 - седьмина ; 1/10 – десятина. Существовало понятие «ломаное число» и в других странах. Оно ведёт своё начало от арабов. А в Европе это название распространилось благодаря работам Фибоначчи. Дроби появились в то время, когда человек стал измерять различные величины – длину, массу, площадь… Ведь часто было недостаточно использовать единицу меры длины целое число раз: приходится учитывать доли или части единицы. Первые упоминания о дробях найдены на глиняных табличках Древнего Вавилона. Так как сама система исчисления в Вавилоне была шестидесятеричная, то вавилоняне предпочитали постоянный знаменатель «60». Но через шестидесятеричные дроби было довольно сложно точно выразить такие дроби, как 1/7 , и их выражали приближенно. 1/7≈1/60+1/60+1/60+1/60+1/60+1/60+1/60+1/60+1/120 Вавилонские мудрецы додумались разделить сутки на 24 часа. А затем час разделили на 60 минут и значительно позже минуту – на 60 секунд. Так же они разделили свою меру весов талант на 60 мин, а мину – на 60 шекелей. Соотношение часов, минут и секунд, принятое в Вавилоне, впоследствии перешло в Индию и в страны Европы и сохранилось в первоначальном виде до наших дней! Интересная система дробей была принята в Древнем Риме. Путь, время и другие величины сравнивали с весом. Единицу веса «асс» римляне делили на двенадцать долей. Одна двенадцатая называлась «унцией». Поэтому римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути или прочёл пять унций книги. При этом имелось в виду, что пройдено 7/12 частей всего пути или прочтено 5/12 объёма всей книги. Двенадцатые доли дробились на двенадцать ещё и ещё… Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". Современная система записи дробей с числителем вверху и знаменателем внизу была создана в древней Индии, только дробной черты индийцы не писали. Правила действий с дробями были изложены индийским учёным Брахмагуптой в 8 веке н. э. и немногим отличаются от наших. Индийское обозначение дробей и правила действий над ними были усвоены в арабских странах в 9 веке благодаря узбекскому учёному Мухаммеду Хорезмскому (аль-Хорезми). Первый, кто применил ныне принятую запись дробей сразделительной дробной чертой, стал итальянский математик Леонардо Пизанский, известный подпрозвищем Фибоначчи. Но дробная черта стала общеупотребительной лишь в XVI веке. Действия с дробями и сейчас не всем легко даются. Но ведь пятьсот лет назад умение обращаться с дробями было вершиной арифметики, великие умы гордились этим знанием! А сейчас мы изучаем дроби уже в младших классах… Между прочим, со средних веков в немецком языке сохранилась поговорка «попасть в дроби», равнозначная нашей «попасть в переплёт», - о трудном, а то и вовсе безвыходном положении… Египетские дроби Древние египтяне, несмотря на то, что они в течение нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные памятники искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей. Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями делал решение задач сложным. Не всегда это так. Египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает 7/8 хлеба. Для египтянина не было числа 7/8 , но он знал, что от деления 7 на 8 получается 1/2+1/4+1/8 . Этот факт подсказывает ему, что для дележа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба - на четвертушки и 1 хлеб - на осьмушки и распределяет доли между получающими. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Mатематический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей. Египтяне ставили иероглиф (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру: У них также были специальные символы для дробей 1/2 ,2/3 и 3/4 , которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2 ). У них также были специальные символы для дробей 1/2 ,2/3 и 3/4 , которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2 ). Иероглиф Значение Примерная величина большая часть глаза 1/2 (или 32/64 ) зрачок 1/4 (или 16/64 ) бровь 1/8 (или 8/64 ) меньшая часть глаза 1/16 (или 4/64 ) капля слезы (?) 1/32 (или 2/64 ) знак сокола (?) 1/64 Уаджет 63/64 За половиной последовало знакомство с половиной половины или 1/4, затем с половиной четверти - 1/8,.. а затем появились и 1/3; 1/6; 1/9…. это были так называемые единичные дроби: их числитель всегда выражен единицей. По другому эти дроби называют – аликвотными. Аликвотная дробь — в математике сумма нескольких дробей вида , то есть каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой положительное целое число. Все знаменатели отличны друг от друга. Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b . Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья. Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Глава 2. Исследовательская часть 2.1 Действия с аликвотными дробями Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Представим дробь с числителем равным - 1 в виде суммы аликвотных дробей: 1/3=1/4+1/12 ; ( 1)/8= 1/9+1/72 ; 1/4=1/( 5)+1/20 ; 1/5=1/6+1/30 . Из данных примеров следует, что знаменатель первой дроби на 1 больше знаменателя данной дроби. Произведение же знаменателя первой дроби и знаменателя данной дроби соответствует знаменателю второй дроби, тогда пусть n – знаменатель данной дроби, n ∈N, где 1/n ₌ 1/(n+1)+1/((n+1)∙n) Докажем это равенство: ; , приведя дроби к общему знаменателю, получаем: после сокращения получаем . (формула верна). 2. Если преобразовать формулу 1/n=1/(n+1)+1/((n+1)∙n) , то получим следующее равенство: 1/n(n+1) =1/n-1/(n+1) ; 1/((n+1) )=1/n-1/(n(n+1)) Например: 1/6=1/((2*3) )=1/2-1/3 ; 1/2=1/1-1/2 ; 1/56=1/((7*8))=1/7-1/8 То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению. 3. Представим дробь с числителем равным - 2 в виде суммы аликвотных дробей: 2/7=1/4+1/28 ; 2/21=1/14+1/42 ; 2/11=1/6+1/66 ; 2/9=1/5+1/45 ; 2/3=1/2+1/6 Пусть n – знаменатель дроби, n ∈N, 2/(2n+1)=1/(n+1)+1/((2n+1)(n+1)) Например: Представим дробь: 2/15 ; 2/5 в виде суммы аликвотных дробей: 2/15=1/(7+1)+1/(2*7+1)(7+1) =1/8+1/(15*8)=1/8+1/120=16/120=2/15 2/5=1/(2+1)+1/((2+1)(2*2+1))=1/3+1/15=6/15=2/5 То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению. 4. Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на два слагаемых. Каждое положительное рациональное число можно представить в виде суммы конечного числа аликвотных дробей. Например 1= 1/2+1/2. Чтобы разложить 1 на три слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби: 1/2=1/3+1/6 => 1= 1/2+1/3+1/6 Чтобы разделить на четыре слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби: 1/3=1/4+1/12 => 1= 1/2+1/4+1/12+1/6 . Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д. Представление аликвотной дроби в виде суммы нескольких аликвотных дробей называют разложением аликвотной дроби. 33/48=1/2+1/8+1/16. Глава 3. Практическая часть 3.1 Решение олимпиадных и нестандартных задач. Задачи с использованием аликвотных дробей встречаются при решении нестандартных и олимпиадных заданий. Задача №1 Найти сумму аликвотных дробей 1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) ) Решение. Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности: 1/2=1/((1*2) )=1/1-1/2 ; 1/6=1/((2*3) )=1/2-1/3 ; 1/12=1/((3*4) )=1/3-1/4 и т.д. 1/20=1/((4*5) )=1/4-1/5 ; 1/380=1/((19*20) )=1/19-1/20 Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получаем: 1/1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4+…-1/19 + 1/19-1/20 = 1/1-1/20=19/20 1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )=19/20 Ответ: 19/20 Задача №2. Найти сумму аликвотных дробей 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 Решение. Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности: 1/20=1/(4*5)=1/4-1/5; 1/30=1/(5*6)=1/5-1/6; 1/42=1/(6*7)=1/6-1/7; 1/56=1/(7*8)=1/7-1/8; 1/72=1/(8*9)=1/8-1/9; 1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;1/132=1/(11*12)=1/11--1/12 1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+ +1/11-1/12 = 1/4-1/12 = (3-1)/12=2/12=1/6 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 = 1/6 Ответ: 1/6 Задача №3. Представить число 1 в виде суммы различных аликвотных дробей Решение а) трех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6. б) четырех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42 1=1/2+1/3+1/7+1/42 в) пяти слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42 1 = 1/2+1/4+1/12+1/7+1/42 Задача №4. Доказать, не используя приведение к общему знаменателю. 3/(2*5)+3/(5*8)+3/(8*11)+⋯+3/(20*23)=21/46 Решение. Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей : 3/(2*5)=1/2-1/5 ; 3/(5*8)=1/5-1/8 ;…; 3/(20*23)=1/20-1/23 1/2-1/5+1/5-1/8+⋯+1/20-1/23=1/2-1/23=(23-2)/46=21/46 21/46=21/46 Задача №5 Найти значение суммы: 4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61) Решение. Вынесем общий множитель 2 за знак скобки 2(2/(5*7)+2/(7*9)+2/(9*11)+2/(11*13)+⋯+2/(59*61)) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей: 2/(5*7)=1/5-1/7; 2/(7*9)=1/7-1/9; 2/(9*11)=1/9-1/11;…; 2/(59*61)= 1/59-1/61 2(1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+⋯+1/59-1/61)=2(1/5-1/61)=2*56/305=112/305 4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)=112/305 Ответ: 112/305 Задача №6 Решить уравнение (1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1) ]=11 Решение Упростим уравнение. Найдем сумму аликвотных дробей 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей 1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27; 1/(27*28)=1/27-1/28; 1/(28*29)==1/28-1/29; 1/(29*30)=1/29-1/30 1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30==(6-5)/150=1/150 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150 После нахождения суммы, уравнение примет вид 1/150*150+1,03:[10,3(х-1) ]=11 1+1,03:[10,3(х-1) ]=11 1,03:[10,3(х-1) ]=10 [10,3(х-1) ]=1,03:10 10,3(х-1) = 0,103 х-1 = 0,01 х =1,01 Ответ: 1,01 Задача №7 Решить уравнение (2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21))*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 Решение. Упростим уравнение. Найдем сумму аликвотных дробей 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей 2/(11*13)=1/11-1/13; 2/(13*15)=1/13-1/15; 2/(15*17)=1/15-1/17; 2/(17*19)=1/17-1/19; 2/(19*21)=1/19-1/21 1/11-1/13+1/13-1/15+1/15-1/17+1/17-1/19+1/19-1/21=1/11-1/21=(21-11)/(11*21)=10/231 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)=10/231 После нахождения суммы, уравнение примет вид 10/231*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 20-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 [2,04:(х+1,05) ]:0,12=1 2,04:( х +1,05) = 0,12 х + 1,05 = 17 х = 15,95 Ответ: 15,95 Задача №8 Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что 1=1/a+1/b+1/c+1/d Могут ли все эти числа быть попарно различны? Может ли одно из этих чисел равно 7? Представить 1 в виде четырех слагаемых. Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные? Решение: а) ДА 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42 1=1/2+1/3+1/7+1/42 б) да в) 1= 1/2+1/2=1/4+1/4+1/4+1/4 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/3+1/6 1= 1/2+1/2=1/3+1/6+1/4+1/4 1= 1/2+1/2=1/2+1/4+1/4=1/2+1/4+1/8+1/8 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/6+1/6 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/2+1/12+1/12 1= 1/2+1/2=1/2+1/5+1/5+1/10 1= 1/3+1/3+1/3=1/3+1/3+1/4+1/12 Задача №9 (авторская задача) Чтобы узнать в каком году страна отмечает 20-летие Астаны – символа молодости, красоты и Независимости нашей страны. Вычислить (2*2017)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017)) Решение Умножим числитель и знаменатель дроби на 0,5 (2*2017*0,5)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))0,5 = 2017/(0,5+1/(3*2)+1/(6*2)+⋯+1/(2017*2018))= =2017/(0,5+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+⋯+1/(2017*2018)) = =| 1/2=1-1/(2 ); 1/(2*3)=1/2-1/(3 ); 1/(3*4)=1/3-1/4; 1/(4*5)=1/4-1/5; 1/(2017*2018)=1/2017-1/2018| = = 2017/(1-1/(2 )+1/2-1/(3 )+1/3-1/4+1/4-1/5+⋯+1/2017-1/2018)=2017/(1-1/2018)=2017/((2018-1)/2018)=2017/1:2017/2018=2018 Ответ: 2018 год. Задача №10 Решите уравнение в натуральных числах 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 =1/2 ,где x_1≤x_2≤x_3; 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 =1/2,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4; 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 +1/x_5 +1/x_6 =1/3,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4≤x_5≤x_6; Решение 1/2=1/4+1/8+1/8 , отсюда x1=4 , x2=x3=8 1/2=1/4+1/8+1/16+1/16 , отсюда x1=4 , x2=8 , x3=х4=16 1/3=1/9+1/18+1/18+1/27+1/27+1/27 , отсюда x1=9 , x2 = x3=18, х4 = х5 = х6 =27 IV. Заключение. Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Мы сделали вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Вывод: В результате работы над данной темой мы познакомились с первыми дробями, которыми пользовались люди, с понятием аликвотная дробь- долгое время они были единственными дробями, с которыми умел работать человек. -Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике. -Разложив аликвотную дробь на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д. - Сами решали олимпиадные и занимательные задачи, самостоятельно подбирали примеры разложения обыкновенных дробей на аликвотные дроби. В ходе выполнения работы мы узнали, что решение задач занимательно, развивает мышление и логику. Результаты работы можно использовать для подготовки к олимпиаде и на математических кружках, а также самостоятельной подготовке учащихся по этой теме. Мы создали сборник задач с применением аликвотных дробей. Материалы данного сборника помогут учителю в подготовке учащихся к олимпиадам, а также может быть использован учениками для самостоятельной подготовки к олимпиаде. Литература. 1.Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Вищашкола»-К.,1986 2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. 3.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М.,1978. 4. КордемскойГ.А. Математическая смекалка.-10-е изд., перераб. И доп.-М.:Юнисам,МДС,1994. 5.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. 6.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998. 7. http://ru.wikipedia.org/wiki.Материал из Википедии — свободной энциклопедии. 8. Г.И. Зубелевич. Сборник задач московских математических олимпиад.:М «Просвещение» 1971г 9.Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.М.:ИЛЕКСА,2007. 10.Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008. 11.Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005. 12.Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009. 13. Э.Н. Балаян «Готовимся к олимпиадам по математике» 5- классы. Ростов-на-Дону. Феникс 2010г. 14. Журнал «Математика»№4(40)апрель2014. «Материалы для математического кружка. Аликвотная дробь». 15.Агаханов Н.Х. Районные олимпиады. 6-11 классы [Текст] / Н.Х.Агаханов, О.К.Подлипский. – М.: Просвещение, 2010. – 192 с. 16.Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл. М.:Просвещение,1996.
Категория: Математика | Добавил: natakireeva26 (2018-04-12)
Просмотров: 40 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Воскресенье, 2018-05-27, 0:51 AM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Русский язык и литература [1562]
Школьный психолог [532]
История [755]
Опыт [524]
Научная кафедра [226]
Воспитание души [251]
Мастер-класс [230]
Семья и школа [184]
Компьютер-бум [262]
Английский язык [838]
Великие открытия [25]
Университет здоровья [134]
Математика [1236]
Химия [392]
Классному руководителю [676]
Биология [601]
Думаем, размышляем, спорим [101]
Казахский язык и литература [1855]
Краеведение [98]
Начальная школа [4098]
Беседы у самовара [20]
Мировая художественная культура [44]
Новые технологии в обучении [389]
Сельская школа [79]
Профильное обучение [82]
Демократизация и школа [28]
Физика [312]
Экология [190]
Дошколенок [1663]
Особые дети [304]
Общество семи муз [61]
Школа и искусство
Уроки музыки [654]
Авторские разработки учителя музыки СШ № 1 г. Алматы Арман Исабековой
География [483]
Мой Казахстан [241]
Школьный театр [75]
Внеклассные мероприятия [1229]
Начальная военная подготовка, гражданская оборона, основы безопасности жизнедеятельности [101]
ИЗО и черчение [225]
Физическая культура [562]
Немецкий язык [56]
Технология [312]
Самопознание [422]
Профессиональное образование [120]
Школьная библиотека [87]
Летний лагерь [19]
Дополнительное образование [53]
Педагогические программы [17]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • /li>
  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru