Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Учительские университеты

Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика

сборник задач
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрілігі
Қостанай қаласы әкімшілігінің білім бөлімінің
А.М. Горький атындағы гимназиясы
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Гимназия имени А.М. Горького
отдела образования акимата города Костаная

Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей.
Сборник задач

г.Костанай 2018 год

Орындаушы: Миниченко Владислав .8 сынып
Исполнитель: Миниченко Владислав .8 класс
Жұмыс жетекшісі: Дьяченко Наталья Валентиновна
Математика пәнінің мұғалімі
Учитель математики
А.М. Горький атындағы гимназиясы

г.Костанай 2018 год

Введение
Олимпиада - дает хорошую возможность обучающимся лишний раз продемонстрировать значимость изучаемых в школе предметов. Олимпиадные задания по математике пробуждают у детей интерес и любовь к предмету, учат их оригинально мыслить, принимать верные решения в различных ситуациях.
Данный сборник представляет собой подбор заданий, направленных на развитие логического мышления, познавательного интереса к математике, а также формирование практических навыков решения задач с использованием аликвотных дробей.
Цель данного сборника - систематизация заданий по теме «Аликвотные дроби» с целью расширения и углубления знаний по математике, развитие творческих и математических способностей обучающихся.
Материалы данного сборника помогут учителю в подготовке учащихся к олимпиадам. Сборник может быть использован учениками для самостоятельной подготовки к олимпиаде.

Задача №1
Найти сумму аликвотных дробей [4]

1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )

Решение.

Представим дроби в виде разности аликвотных дробей
1/2=1/((1*2) )=1/1-1/2 ; 1/6=1/((2*3) )=1/2-1/3 ;
1/12=1/((3*4) )=1/3-1/4 и т.д. 1/20=1/((4*5) )=1/4-1/5 ; 1/380=1/((19*20) )=1/19-1/20

Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получаем:
1/1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4+…-1/19 + 1/19-1/20 = 1/1-1/20=19/20

1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )=19/20

Ответ: 19/20

Задача №2.
Найти сумму аликвотных дробей [1]

1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132

Решение.
Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности: 1/20=1/(4*5)=1/4-1/5; 1/30=1/(5*6)=1/5-1/6;
1/42=1/(6*7)=1/6-1/7; 1/56=1/(7*8)=1/7-1/8; 1/72=1/(8*9)=1/8-1/9; 1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;1/132=1/(11*12)=1/11--1/12

1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+
+1/11-1/12 = 1/4-1/12 = (3-1)/12=2/12=1/6

1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 = 1/6

Ответ: 1/6

Задача №3. [4]
Представить число 1 в виде суммы различных аликвотных дробей
Решение

а) трех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6.
б) четырех слагаемых
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42
1=1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42

1 = 1/2+1/4+1/12+1/7+1/42

Задача №4. [5]

Доказать, не используя приведение к общему знаменателю.

3/(2*5)+3/(5*8)+3/(8*11)+⋯+3/(20*23)=21/46

Решение.
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей :

3/(2*5)=1/2-1/5 ; 3/(5*8)=1/5-1/8 ;…; 3/(20*23)=1/20-1/23

1/2-1/5+1/5-1/8+⋯+1/20-1/23=1/2-1/23=(23-2)/46=21/46

21/46=21/46

Задача №5 [1]

Найти значение суммы:
4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)

Решение.
Вынесем общий множитель 2 за знак скобки

2(2/(5*7)+2/(7*9)+2/(9*11)+2/(11*13)+⋯+2/(59*61))

Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей:
2/(5*7)=1/5-1/7; 2/(7*9)=1/7-1/9; 2/(9*11)=1/9-1/11;…; 2/(59*61)= 1/59-1/61

2(1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+⋯+1/59-1/61)=2(1/5-1/61)=2*56/305=112/305

4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)=112/305

Ответ: 112/305

Задача №6 [1]

Решить уравнение
(1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1) ]=11

Решение
Упростим уравнение.
Найдем сумму аликвотных дробей 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей
1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27; 1/(27*28)=1/27-1/28; 1/(28*29)=1/28-1/29; 1/(29*30)=1/29-1/30
1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30=(6-5)/150==1/150

1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150

После нахождения суммы, уравнение примет вид

1/150*150+1,03:[10,3(х-1) ]=11

1+1,03:[10,3(х-1) ]=11
1,03:[10,3(х-1) ]=10
[10,3(х-1) ]=1,03:10
10,3(х-1) = 0,103
х-1 = 0,01
х =1,01

Ответ: 1,01

Задача №7 [1]

Решить уравнение
(2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21))*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

Решение.
Упростим уравнение.
Найдем сумму аликвотных дробей 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей
2/(11*13)=1/11-1/13; 2/(13*15)=1/13-1/15; 2/(15*17)=1/15-1/17; 2/(17*19)=1/17-1/19;

2/(19*21)=1/19-1/21

1/11-1/13+1/13-1/15+1/15-1/17+1/17-1/19+1/19-1/21=1/11-1/21=(21-11)/(11*21)=10/231

2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)=10/231

После нахождения суммы, уравнение примет вид

10/231*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

20-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

[2,04:(х+1,05) ]:0,12=1
2,04:( х +1,05) = 0,12
х + 1,05 = 17
х = 15,95

Ответ: 15,95

Задача №8 [3]

Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что 1=1/a+1/b+1/c+1/d
Могут ли все эти числа быть попарно различны?
Может ли одно из этих чисел равно 7?
Представить 1 в виде четырех слагаемых. Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные?
Решение:
а) ДА
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42
1=1/2+1/3+1/7+1/42
б) да
в) 1= 1/2+1/2=1/4+1/4+1/4+1/4

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/3+1/6

1= 1/2+1/2=1/3+1/6+1/4+1/4

1= 1/2+1/2=1/2+1/4+1/4=1/2+1/4+1/8+1/8

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/6+1/6

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/2+1/12+1/12

1= 1/2+1/2=1/2+1/5+1/5+1/10

1= 1/3+1/3+1/3=1/3+1/3+1/4+1/12

Задача №9 (авторская задача)
Чтобы узнать в каком году страна отмечает 20-летие Астаны – символа молодости, красоты и Независимости нашей страны.
Вычислите
(2*2017)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))

Решение
Умножим числитель и знаменатель дроби на 0,5

(2*2017*0,5)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))0,5 = 2017/(0,5+1/(3*2)+1/(6*2)+⋯+1/(2017*2018))=

=2017/(0,5+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+⋯+1/(2017*2018)) =

=| 1/2=1-1/(2 ); 1/(2*3)=1/2-1/(3 ); 1/(3*4)=1/3-1/4; 1/(4*5)=1/4-1/5; 1/(2017*2018)=1/2017-1/2018| =

= 2017/(1-1/(2 )+1/2-1/(3 )+1/3-1/4+1/4-1/5+⋯+1/2017-1/2018)=2017/(1-1/2018)=2017/((2018-1)/2018)=2017/1:2017/2018=2018

Ответ: 2018 год

Задача №10 [2]
Решите уравнение в натуральных числах
1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 =1/2 ,где x_1≤x_2≤x_3;
1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 =1/2,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4;

1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 +1/x_5 +1/x_6 =1/3,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4≤x_5≤x_6;

Решение
1/2=1/4+1/8+1/8 , отсюда x1=4 , x2=x3=8
1/2=1/4+1/8+1/16+1/16 , отсюда x1=4 , x2=8 , x3=х4=16
1/3=1/9+1/18+1/18+1/27+1/27+1/27 , отсюда x1=9 , x2 = x3=18, х4 = х5 = х6 =27.

Приложение

[1] Г.И. Зубелевич. Сборник задач московских математических олимпиад.:М «Просвещение» 1971г
[2] Журнал «Математика»№4(40)апрель2014. «Материалы для математического кружка. Аликвотная дробь».
[3] Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл. М.:Просвещение,1996.
[4] Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
[5] Э.Н. Балаян «Готовимся к олимпиадам по математике» 5- классы. Ростов-на-Дону. Феникс 2010г
Категория: Математика | Добавил: natakireeva26 (2018-04-12)
Просмотров: 32 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Пятница, 2018-05-25, 1:54 PM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Русский язык и литература [1561]
Школьный психолог [532]
История [755]
Опыт [524]
Научная кафедра [226]
Воспитание души [251]
Мастер-класс [230]
Семья и школа [184]
Компьютер-бум [262]
Английский язык [838]
Великие открытия [25]
Университет здоровья [134]
Математика [1236]
Химия [392]
Классному руководителю [676]
Биология [601]
Думаем, размышляем, спорим [101]
Казахский язык и литература [1855]
Краеведение [98]
Начальная школа [4098]
Беседы у самовара [20]
Мировая художественная культура [44]
Новые технологии в обучении [389]
Сельская школа [79]
Профильное обучение [82]
Демократизация и школа [28]
Физика [312]
Экология [190]
Дошколенок [1662]
Особые дети [304]
Общество семи муз [61]
Школа и искусство
Уроки музыки [654]
Авторские разработки учителя музыки СШ № 1 г. Алматы Арман Исабековой
География [483]
Мой Казахстан [241]
Школьный театр [75]
Внеклассные мероприятия [1229]
Начальная военная подготовка, гражданская оборона, основы безопасности жизнедеятельности [101]
ИЗО и черчение [225]
Физическая культура [562]
Немецкий язык [56]
Технология [312]
Самопознание [422]
Профессиональное образование [120]
Школьная библиотека [87]
Летний лагерь [19]
Дополнительное образование [53]
Педагогические программы [17]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • /li>
  • Статистика

    Рейтинг@Mail.ru