Коллеги - педагогический журнал Казахстана

Учительские университеты

Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика

сборник задач
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрілігі
Қостанай қаласы әкімшілігінің білім бөлімінің
А.М. Горький атындағы гимназиясы
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Гимназия имени А.М. Горького
отдела образования акимата города Костаная

Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей.
Сборник задач

г.Костанай 2018 год

Орындаушы: Миниченко Владислав .8 сынып
Исполнитель: Миниченко Владислав .8 класс
Жұмыс жетекшісі: Дьяченко Наталья Валентиновна
Математика пәнінің мұғалімі
Учитель математики
А.М. Горький атындағы гимназиясы

г.Костанай 2018 год

Введение
Олимпиада - дает хорошую возможность обучающимся лишний раз продемонстрировать значимость изучаемых в школе предметов. Олимпиадные задания по математике пробуждают у детей интерес и любовь к предмету, учат их оригинально мыслить, принимать верные решения в различных ситуациях.
Данный сборник представляет собой подбор заданий, направленных на развитие логического мышления, познавательного интереса к математике, а также формирование практических навыков решения задач с использованием аликвотных дробей.
Цель данного сборника - систематизация заданий по теме «Аликвотные дроби» с целью расширения и углубления знаний по математике, развитие творческих и математических способностей обучающихся.
Материалы данного сборника помогут учителю в подготовке учащихся к олимпиадам. Сборник может быть использован учениками для самостоятельной подготовки к олимпиаде.

Задача №1
Найти сумму аликвотных дробей [4]

1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )

Решение.

Представим дроби в виде разности аликвотных дробей
1/2=1/((1*2) )=1/1-1/2 ; 1/6=1/((2*3) )=1/2-1/3 ;
1/12=1/((3*4) )=1/3-1/4 и т.д. 1/20=1/((4*5) )=1/4-1/5 ; 1/380=1/((19*20) )=1/19-1/20

Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получаем:
1/1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4+…-1/19 + 1/19-1/20 = 1/1-1/20=19/20

1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )=19/20

Ответ: 19/20

Задача №2.
Найти сумму аликвотных дробей [1]

1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132

Решение.
Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности: 1/20=1/(4*5)=1/4-1/5; 1/30=1/(5*6)=1/5-1/6;
1/42=1/(6*7)=1/6-1/7; 1/56=1/(7*8)=1/7-1/8; 1/72=1/(8*9)=1/8-1/9; 1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;1/132=1/(11*12)=1/11--1/12

1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+
+1/11-1/12 = 1/4-1/12 = (3-1)/12=2/12=1/6

1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 = 1/6

Ответ: 1/6

Задача №3. [4]
Представить число 1 в виде суммы различных аликвотных дробей
Решение

а) трех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6.
б) четырех слагаемых
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42
1=1/2+1/3+1/7+1/42

в) пяти слагаемых
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42

1 = 1/2+1/4+1/12+1/7+1/42

Задача №4. [5]

Доказать, не используя приведение к общему знаменателю.

3/(2*5)+3/(5*8)+3/(8*11)+⋯+3/(20*23)=21/46

Решение.
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей :

3/(2*5)=1/2-1/5 ; 3/(5*8)=1/5-1/8 ;…; 3/(20*23)=1/20-1/23

1/2-1/5+1/5-1/8+⋯+1/20-1/23=1/2-1/23=(23-2)/46=21/46

21/46=21/46

Задача №5 [1]

Найти значение суммы:
4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)

Решение.
Вынесем общий множитель 2 за знак скобки

2(2/(5*7)+2/(7*9)+2/(9*11)+2/(11*13)+⋯+2/(59*61))

Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей:
2/(5*7)=1/5-1/7; 2/(7*9)=1/7-1/9; 2/(9*11)=1/9-1/11;…; 2/(59*61)= 1/59-1/61

2(1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+⋯+1/59-1/61)=2(1/5-1/61)=2*56/305=112/305

4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)=112/305

Ответ: 112/305

Задача №6 [1]

Решить уравнение
(1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1) ]=11

Решение
Упростим уравнение.
Найдем сумму аликвотных дробей 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей
1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27; 1/(27*28)=1/27-1/28; 1/(28*29)=1/28-1/29; 1/(29*30)=1/29-1/30
1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30=(6-5)/150==1/150

1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150

После нахождения суммы, уравнение примет вид

1/150*150+1,03:[10,3(х-1) ]=11

1+1,03:[10,3(х-1) ]=11
1,03:[10,3(х-1) ]=10
[10,3(х-1) ]=1,03:10
10,3(х-1) = 0,103
х-1 = 0,01
х =1,01

Ответ: 1,01

Задача №7 [1]

Решить уравнение
(2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21))*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

Решение.
Упростим уравнение.
Найдем сумму аликвотных дробей 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)
Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей
2/(11*13)=1/11-1/13; 2/(13*15)=1/13-1/15; 2/(15*17)=1/15-1/17; 2/(17*19)=1/17-1/19;

2/(19*21)=1/19-1/21

1/11-1/13+1/13-1/15+1/15-1/17+1/17-1/19+1/19-1/21=1/11-1/21=(21-11)/(11*21)=10/231

2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)=10/231

После нахождения суммы, уравнение примет вид

10/231*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

20-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19

[2,04:(х+1,05) ]:0,12=1
2,04:( х +1,05) = 0,12
х + 1,05 = 17
х = 15,95

Ответ: 15,95

Задача №8 [3]

Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что 1=1/a+1/b+1/c+1/d
Могут ли все эти числа быть попарно различны?
Может ли одно из этих чисел равно 7?
Представить 1 в виде четырех слагаемых. Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные?
Решение:
а) ДА
1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42
1=1/2+1/3+1/7+1/42
б) да
в) 1= 1/2+1/2=1/4+1/4+1/4+1/4

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/3+1/6

1= 1/2+1/2=1/3+1/6+1/4+1/4

1= 1/2+1/2=1/2+1/4+1/4=1/2+1/4+1/8+1/8

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/6+1/6

1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/2+1/12+1/12

1= 1/2+1/2=1/2+1/5+1/5+1/10

1= 1/3+1/3+1/3=1/3+1/3+1/4+1/12

Задача №9 (авторская задача)
Чтобы узнать в каком году страна отмечает 20-летие Астаны – символа молодости, красоты и Независимости нашей страны.
Вычислите
(2*2017)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))

Решение
Умножим числитель и знаменатель дроби на 0,5

(2*2017*0,5)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))0,5 = 2017/(0,5+1/(3*2)+1/(6*2)+⋯+1/(2017*2018))=

=2017/(0,5+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+⋯+1/(2017*2018)) =

=| 1/2=1-1/(2 ); 1/(2*3)=1/2-1/(3 ); 1/(3*4)=1/3-1/4; 1/(4*5)=1/4-1/5; 1/(2017*2018)=1/2017-1/2018| =

= 2017/(1-1/(2 )+1/2-1/(3 )+1/3-1/4+1/4-1/5+⋯+1/2017-1/2018)=2017/(1-1/2018)=2017/((2018-1)/2018)=2017/1:2017/2018=2018

Ответ: 2018 год

Задача №10 [2]
Решите уравнение в натуральных числах
1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 =1/2 ,где x_1≤x_2≤x_3;
1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 =1/2,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4;

1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 +1/x_5 +1/x_6 =1/3,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4≤x_5≤x_6;

Решение
1/2=1/4+1/8+1/8 , отсюда x1=4 , x2=x3=8
1/2=1/4+1/8+1/16+1/16 , отсюда x1=4 , x2=8 , x3=х4=16
1/3=1/9+1/18+1/18+1/27+1/27+1/27 , отсюда x1=9 , x2 = x3=18, х4 = х5 = х6 =27.

Приложение

[1] Г.И. Зубелевич. Сборник задач московских математических олимпиад.:М «Просвещение» 1971г
[2] Журнал «Математика»№4(40)апрель2014. «Материалы для математического кружка. Аликвотная дробь».
[3] Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл. М.:Просвещение,1996.
[4] Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
[5] Э.Н. Балаян «Готовимся к олимпиадам по математике» 5- классы. Ростов-на-Дону. Феникс 2010г
Категория: Математика | Добавил: natakireeva26 (2018-04-12)
Просмотров: 108 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 0.0/0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Среда, 2019-02-20, 4:27 PM
Приветствую Вас Гость

Форма входа

Категории раздела

Русский язык и литература [1578]
Школьный психолог [537]
История [762]
Опыт [542]
Научная кафедра [229]
Воспитание души [255]
Мастер-класс [239]
Семья и школа [189]
Компьютер-бум [266]
Английский язык [852]
Великие открытия [26]
Университет здоровья [136]
Математика [1247]
Химия [397]
Классному руководителю [687]
Биология [605]
Думаем, размышляем, спорим [103]
Казахский язык и литература [1870]
Краеведение [101]
Начальная школа [4125]
Беседы у самовара [21]
Мировая художественная культура [45]
Новые технологии в обучении [395]
Сельская школа [80]
Профильное обучение [84]
Демократизация и школа [29]
Физика [314]
Экология [191]
Дошколенок [1696]
Особые дети [308]
Общество семи муз [62]
Школа и искусство
Уроки музыки [660]
Авторские разработки учителя музыки СШ № 1 г. Алматы Арман Исабековой
География [485]
Мой Казахстан [242]
Школьный театр [77]
Внеклассные мероприятия [1248]
Начальная военная подготовка, гражданская оборона, основы безопасности жизнедеятельности [102]
ИЗО и черчение [226]
Физическая культура [570]
Немецкий язык [57]
Технология [314]
Самопознание [429]
Профессиональное образование [121]
Школьная библиотека [88]
Летний лагерь [22]
Дополнительное образование [56]
Педагогические программы [19]

Социальные закладк

Поиск

Друзья сайта

Академия сказочных наук

  • Театр.kz

  • /li>
  • Теги

    презентация Ирина Борисенко открытый урок информатика флипчарт животные новый год 9 класс 5 класс творчество Казахские пословицы проект конспект урока 6 класс физика язык класс стихи Казахстан математика урок праздник познание мира музыка доклад программа литература география природа сценарий семья воспитание классному руководителю осень семья и школа игра казахский язык и литература викторина Начальная школа тест конкурс ИЗО внеклассная работа литературное чтение Русский язык 3 класс технология воспитательная работа сказка Здоровье Оксана 8 марта искусство независимость английский язык психология учитель 3 класс биология статья внеклассное мероприятие классный час ЕНТ выпускной школа 1 класс Русский язык ЕГЭ тесты химия начальные классы Дети экология Астана Дошкольники любовь разработка урока казахский язык самопознание Английский родители br конспект спорт критическое мышление патриотизм дружба дошколенок История обучение тренинг хореография разработка 7 класс физическая культура игры КВН занятие детский сад физкультура коучинг

    Статистика

    Рейтинг@Mail.ru