Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
сборник задач
| Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрілігі Қостанай қаласы әкімшілігінің білім бөлімінің А.М. Горький атындағы гимназиясы Министерство образования и науки Республики Казахстан Гимназия имени А.М. Горького отдела образования акимата города Костаная Решение нестандартных и олимпиадных задач с помощью аликвотных дробей. Сборник задач г.Костанай 2018 год Орындаушы: Миниченко Владислав .8 сынып Исполнитель: Миниченко Владислав .8 класс Жұмыс жетекшісі: Дьяченко Наталья Валентиновна Математика пәнінің мұғалімі Учитель математики А.М. Горький атындағы гимназиясы г.Костанай 2018 год Введение Олимпиада - дает хорошую возможность обучающимся лишний раз продемонстрировать значимость изучаемых в школе предметов. Олимпиадные задания по математике пробуждают у детей интерес и любовь к предмету, учат их оригинально мыслить, принимать верные решения в различных ситуациях. Данный сборник представляет собой подбор заданий, направленных на развитие логического мышления, познавательного интереса к математике, а также формирование практических навыков решения задач с использованием аликвотных дробей. Цель данного сборника - систематизация заданий по теме «Аликвотные дроби» с целью расширения и углубления знаний по математике, развитие творческих и математических способностей обучающихся. Материалы данного сборника помогут учителю в подготовке учащихся к олимпиадам. Сборник может быть использован учениками для самостоятельной подготовки к олимпиаде. Задача №1 Найти сумму аликвотных дробей [4] 1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) ) Решение. Представим дроби в виде разности аликвотных дробей 1/2=1/((1*2) )=1/1-1/2 ; 1/6=1/((2*3) )=1/2-1/3 ; 1/12=1/((3*4) )=1/3-1/4 и т.д. 1/20=1/((4*5) )=1/4-1/5 ; 1/380=1/((19*20) )=1/19-1/20 Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получаем: 1/1-1/2 + 1/2-1/3 + 1/3-1/4+…-1/19 + 1/19-1/20 = 1/1-1/20=19/20 1/2+1/((2*3) )+1/((3*4) )+1/((4*5) )+⋯+1/((19*20) )=19/20 Ответ: 19/20 Задача №2. Найти сумму аликвотных дробей [1] 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 Решение. Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности: 1/20=1/(4*5)=1/4-1/5; 1/30=1/(5*6)=1/5-1/6; 1/42=1/(6*7)=1/6-1/7; 1/56=1/(7*8)=1/7-1/8; 1/72=1/(8*9)=1/8-1/9; 1/90=1/(9*10)=1/9-1/10;1/110=1/(10*11)=1/10-1/11;1/132=1/(11*12)=1/11--1/12 1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+ +1/11-1/12 = 1/4-1/12 = (3-1)/12=2/12=1/6 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132 = 1/6 Ответ: 1/6 Задача №3. [4] Представить число 1 в виде суммы различных аликвотных дробей Решение а) трех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6. б) четырех слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42 1=1/2+1/3+1/7+1/42 в) пяти слагаемых 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12)+1/7+1/42 1 = 1/2+1/4+1/12+1/7+1/42 Задача №4. [5] Доказать, не используя приведение к общему знаменателю. 3/(2*5)+3/(5*8)+3/(8*11)+⋯+3/(20*23)=21/46 Решение. Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей : 3/(2*5)=1/2-1/5 ; 3/(5*8)=1/5-1/8 ;…; 3/(20*23)=1/20-1/23 1/2-1/5+1/5-1/8+⋯+1/20-1/23=1/2-1/23=(23-2)/46=21/46 21/46=21/46 Задача №5 [1] Найти значение суммы: 4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61) Решение. Вынесем общий множитель 2 за знак скобки 2(2/(5*7)+2/(7*9)+2/(9*11)+2/(11*13)+⋯+2/(59*61)) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей: 2/(5*7)=1/5-1/7; 2/(7*9)=1/7-1/9; 2/(9*11)=1/9-1/11;…; 2/(59*61)= 1/59-1/61 2(1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+⋯+1/59-1/61)=2(1/5-1/61)=2*56/305=112/305 4/(5*7)+4/(7*9)+4/(9*11)+4/(11*13)+⋯+4/(59*61)=112/305 Ответ: 112/305 Задача №6 [1] Решить уравнение (1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1) ]=11 Решение Упростим уравнение. Найдем сумму аликвотных дробей 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей 1/(25*26)=1/25-1/26; 1/(26*27)=1/26-1/27; 1/(27*28)=1/27-1/28; 1/(28*29)=1/28-1/29; 1/(29*30)=1/29-1/30 1/25-1/26+1/26-1/27+1/27-1/28+1/28-1/29+1/28-1/29+1/29-1/30=1/25-1/30=(6-5)/150==1/150 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)=1/150 После нахождения суммы, уравнение примет вид 1/150*150+1,03:[10,3(х-1) ]=11 1+1,03:[10,3(х-1) ]=11 1,03:[10,3(х-1) ]=10 [10,3(х-1) ]=1,03:10 10,3(х-1) = 0,103 х-1 = 0,01 х =1,01 Ответ: 1,01 Задача №7 [1] Решить уравнение (2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21))*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 Решение. Упростим уравнение. Найдем сумму аликвотных дробей 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21) Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей 2/(11*13)=1/11-1/13; 2/(13*15)=1/13-1/15; 2/(15*17)=1/15-1/17; 2/(17*19)=1/17-1/19; 2/(19*21)=1/19-1/21 1/11-1/13+1/13-1/15+1/15-1/17+1/17-1/19+1/19-1/21=1/11-1/21=(21-11)/(11*21)=10/231 2/(11*13)+2/(13*15)+2/(15*17)+2/(17*19)+2/(19*21)=10/231 После нахождения суммы, уравнение примет вид 10/231*462-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 20-[2,04:(х+1,05) ]:0,12=19 [2,04:(х+1,05) ]:0,12=1 2,04:( х +1,05) = 0,12 х + 1,05 = 17 х = 15,95 Ответ: 15,95 Задача №8 [3] Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что 1=1/a+1/b+1/c+1/d Могут ли все эти числа быть попарно различны? Может ли одно из этих чисел равно 7? Представить 1 в виде четырех слагаемых. Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные? Решение: а) ДА 1= 1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2++1/3+1/7+1/42 1=1/2+1/3+1/7+1/42 б) да в) 1= 1/2+1/2=1/4+1/4+1/4+1/4 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/3+1/6 1= 1/2+1/2=1/3+1/6+1/4+1/4 1= 1/2+1/2=1/2+1/4+1/4=1/2+1/4+1/8+1/8 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/6+1/6+1/6 1= 1/2+1/2=1/2+1/3+1/6=1/3+1/2+1/12+1/12 1= 1/2+1/2=1/2+1/5+1/5+1/10 1= 1/3+1/3+1/3=1/3+1/3+1/4+1/12 Задача №9 (авторская задача) Чтобы узнать в каком году страна отмечает 20-летие Астаны – символа молодости, красоты и Независимости нашей страны. Вычислите (2*2017)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017)) Решение Умножим числитель и знаменатель дроби на 0,5 (2*2017*0,5)/(1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+⋯+1/(1+2+3+⋯+2017))0,5 = 2017/(0,5+1/(3*2)+1/(6*2)+⋯+1/(2017*2018))= =2017/(0,5+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+⋯+1/(2017*2018)) = =| 1/2=1-1/(2 ); 1/(2*3)=1/2-1/(3 ); 1/(3*4)=1/3-1/4; 1/(4*5)=1/4-1/5; 1/(2017*2018)=1/2017-1/2018| = = 2017/(1-1/(2 )+1/2-1/(3 )+1/3-1/4+1/4-1/5+⋯+1/2017-1/2018)=2017/(1-1/2018)=2017/((2018-1)/2018)=2017/1:2017/2018=2018 Ответ: 2018 год Задача №10 [2] Решите уравнение в натуральных числах 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 =1/2 ,где x_1≤x_2≤x_3; 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 =1/2,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4; 1/x_1 +1/x_2 +1/x_3 +1/x_4 +1/x_5 +1/x_6 =1/3,где x_1≤x_2≤x_3≤x_4≤x_5≤x_6; Решение 1/2=1/4+1/8+1/8 , отсюда x1=4 , x2=x3=8 1/2=1/4+1/8+1/16+1/16 , отсюда x1=4 , x2=8 , x3=х4=16 1/3=1/9+1/18+1/18+1/27+1/27+1/27 , отсюда x1=9 , x2 = x3=18, х4 = х5 = х6 =27. Приложение [1] Г.И. Зубелевич. Сборник задач московских математических олимпиад.:М «Просвещение» 1971г [2] Журнал «Математика»№4(40)апрель2014. «Материалы для математического кружка. Аликвотная дробь». [3] Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл. М.:Просвещение,1996. [4] Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008. [5] Э.Н. Балаян «Готовимся к олимпиадам по математике» 5- классы. Ростов-на-Дону. Феникс 2010г | |
| Просмотров: 516 | Комментарии: 1 | |
Пятница, 2024-04-19, 9:08 AM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|