Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Байкова Валентина Леонидовна, учитель математики и информатики НУО " Экономический лицей" г. Астаны
| Элективный курс по математике в 11 классе Тема: «Решение задач с параметрами» Пояснительная записка Данная программа предназначена для занятий факультатива в 11 классах естественно – математического профиля или для учащихся общеобразовательных классов, которые имеют средний и высокий уровень знаний по математике, а также хотят получить дополнительные знания по многим темам предмета. Темы, рассматриваемые в данном курсе, либо не включены в образовательную программу средней школы, либо им уделяется очень мало внимания. Задачи с параметрами играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников, и именно эти задачи представляют для учащихся и абитуриентов наибольшую сложность. Задачи с параметрами, как правило, являются хорошим материалом для проведения различного рода исследований, а значит, демонстрации владения учащимися навыками рассуждения, анализа, доказательства. Задачи с параметрами - представляют собой весьма широкое поле, для полноценной математической деятельности, во всяком случае, более широкое, чем многочисленные и зачастую вполне, алгоритмические задачи на вычисление пределов, производных и интегралов. Решение задач, а точнее, уравнений и неравенств с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Это касается идеи симметрии аналитических выражений, и применения свойств функций в неожиданных для - решающего ситуациях. А также освоения геометрических приемов решения задач как равноправных по существу, с аналитическими методами и т.п. Кроме этого она поможет учащимся старших классов систематизировать свои математические знания, поможет с разных точек зрения взглянуть на уже известные темы, значительно расширить круг математических вопросов, которые не изучаются в школьном курсе. Эта программа позволяет учащимся подготовиться к школьной аттестации, к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения, как в форме тестирования, так и в форме письменного и устного экзамена. Расширяя математический кругозор, программа значительно совершенствует технику решения сложных, конкурсных заданий. Задачи курса: •актуализация и систематизация знаний учащихся по темам: решение линейных уравнений и неравенств с параметрами, аналитические приёмы решения задач с параметром, задачи с параметром сводящиеся к исследованию квадратного трёхчлена, графически - аналитический способ решения задач с параметром, решение показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств; •обучение учащихся методам решения задач с параметром; •привлечение учащихся к исследовательской деятельности. Курс рассчитан на 64 - учебного часа. Формы организации занятий – практикумы по решению задач, исследовательские работы, лабораторные работы, контрольные работы. Результатом изучения является освоение учащимися содержания курса: овладение умениями и навыками решения задач с параметрами. Учебное – тематическое планирование № урока Содержание кол.час I Формирование понятия параметры 1-2 Формирование понятия постоянной и переменной величин. Выделение из множества переменных параметров. II Линейное уравнение, линейное неравенство, линейная функция 3-4 Введение понятия уравнения, линейного относительно приоритетно выбранной переменной. 5-6 Линейная функция. Решение линейных неравенств с одной переменной. 7-8 Линейное уравнение с двумя переменными. График линейной функции. 9-10 Системы линейных уравнений с двумя переменными 11-12 Линейное неравенство с двумя переменными. Метод областей на плоскости. 13-14 Уравнения и неравенства, приводимые к линейным уравнениям. III Задачи с параметрами в ходе изучения свойств - квадратичной функции 15-16 Решение квадратных уравнений с параметрами по определению. 17-18 Дискриминант квадратного трёхчлена. Сохранение знака квадратного трёхчлена. Корни квадратного трёхчлена. 19-20 Соотношение между корнями квадратного трёхчлена. Теорема Виета. 21-22 Расположение квадратного трёхчлена относительно начала координат. 23-24 Расположение квадратного трёхчлена относительно точки р числовой оси. 25-26 Расположение квадратного трёхчлена относительно интервала (p,q). 27-28 Решение симметричных систем уравнений 29-30 Взаимное расположение корней двух квадратных трёхчленов. IV Свойства функций в задачах с параметрами 31-32 Область значения функции 33-34 Монотонность 35-36 Четность. Периодичность. Обратимость V Аналитические и графические приемы 37-38 Применение производной 39-40 Касательная к кривой 41-42 Критические точки 43-44 Монотонность 45-46 Наибольшие и наименьшие значения функции. Оценки 47-48 Построение графиков функций 49-50 Методы поиска необходимых условий 51-52 Использование симметрии аналитических выражений 53-54 "Выгодная точка" 55-58 Разные приемы 59-62 Решение показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств, содержащих параметр. 63-64 Решение конкурсных задач - для поступающих в вузы СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Данная программа предусматривает изучение следующих тем: «Формирование понятия параметры», «Линейное уравнение, линейное неравенство, линейная функция», «Задачи с параметрами в ходе изучения свойств - квадратичной функции», «Свойства функций в задачах с параметрами», «Аналитические и графические приемы». 1.Тема: «Формирование понятия параметры» Известно, что в программах по математике для неспециализированных школ этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую очередь, необходимо рассмотреть разделы общеобразовательной математики, в которых, вообще, присутствует сама идея параметра. Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий. Рассмотрим в качестве примеров следующие объекты: функция прямая пропорциональность у = kх (х и у - переменные; k - параметр, k≠ 0); линейная функция: у = kх+b (х и у - переменные; к и b - параметры); линейное уравнение: ах + b = 0 (х - переменная; а и b - параметры); уравнение первой степени: ах + b = 0 (х — переменная; а и b — параметры, а≠0); квадратное уравнение: ах 2 + bх + с = 0 (х — переменная; а, b и с — параметры, а ≠ 0). К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров. 2.Тема: Линейное уравнение, линейное неравенство, линейная функция Линейная функция, линейное неравенство и линейное уравнение – одна из главнейших тем в школьном курсе математики, основа формирования содержательно – методических курса математики, в том числе и содержательно методической линии задач с параметрами. Надо сформулировать общее определение линейного уравнения с параметром, алгоритм его решения. Также сформулировать определение линейного неравенства с параметром, алгоритм его решения. Рассмотреть алгоритм построения графика уравнения ax + by + c=0, где a≠0, b≠0, а также их систем. Рассмотреть решение систем линейных неравенств, с двумя переменными. 3.Тема: «Задачи с параметрами в ходе изучения свойств - квадратичной функции» При современном подходе к преподаванию данной темы превалирует алгоритмический подход к изучению свойств - квадратичной функции. Это противоречит целям развивающего обучения. При решении задач с параметрами с использованием свойств - квадратичной функции предусматривается: рассмотрение вопросов о равносильности существования корней квадратного уравнения и неотрицательности его дискриминанта, знаков корней квадратного трёхчлена, расположения корней на числовой оси, применение теоремы Виета. 4.Тема: «Свойства функций в задачах с параметрами» Функциональный метод решения задач с параметром является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математики. При решении задач этим методом идёт повторение свойств функции изучаемых в школьном курсе математики. Наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности функции. С каждым уравнением (неравенством, системой) связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. С этой точки зрения, например, уравнение f(x) = g(x) можно рассматривать как задачу о нахождении значений аргумента х, при которых равны значения функций f и g. Такие, казалось бы, тривиальные рассуждения нередко дают возможность найти результативный путь решения многих задач. Кратко основную идею можно сформулировать так: ключ решения - свойства функций. 5.Тема: «Аналитические и графические приёмы решения задач с параметрами» Изучение этой темы предполагает углубленное и расширенное изучение решений задач с параметрами. Предусматривает классифицировать задачи с позиций применения к ним аналитических и графических методов исследования. Причем основой выбора примеров будет служить не внешняя их принадлежность к какому-либо разделу элементарной математики, а в первую очередь то, насколько наглядно они иллюстрируют метод решения. Любая задача с параметрами, есть задача как минимум с двумя переменными – аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи можно рассматривать как упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидового пространства. Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой – искомая переменная. Предполагает взгляд на параметр как на равноправную переменную и находит свое отражение в графических методах. Так как параметр "равен в правах" с переменной, то ему, естественно, можно "выделить" и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (x; а). Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв x и у, для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами. Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, надо показать его применение для решения основных типов. Сам же процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, "снимаем" нужную информацию. Используемая литература: 1.Задачи с параметрами. П.И. Горнштейн, В.Б.Полонский, Киев, 2000 2.Задачи с параметрами. В.В.Амелькин,В.Л.Рабцевич,Минск, 2004 3.Решение задач с параметрами.В.В.Мирошин. Москва,2009 4.Тренажёр по математике для подготовки к ЕНТ. И.П.Рустюмова, С.Т.Рустюмова, Алматы, 2010 5.Пособие для подготовки к ЕНТ по математике. И.П.Рустюмова, С.Т.Рустюмова, Алматы, 2009 6.Тестовые задания, формулы, решения, ответы по математике - для поступающих в вузы. К.Н.Бексултанова, К.И.Черенко. Кокшетау, 2006. Приложение.Формирование понятия параметры. Пример 1. Даны уравнения, линейные относительно переменной х, укажите уравнения, содержащие и не содержащие параметр. 1. 2х +3=5х-2 6. 3x3=9 2. ах=5 7. 5+x=ax3 3. 14х2 – а = 10 8. 3x- (x-17)=-2x 4. bx + a=12 9.x=a2x 5. 2x+4=3(x-2) + 5 10. 6x=1-(15-4x). Пример 2. Сравнить -а и 3а. Решение. Естественно рассмотреть три случая: если а < 0, то -а > 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а < 3а. Пример3. Решить уравнение ах = 1. Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = 1/а. Однако при а = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так. Ответ. Если а = 0, то нет решений; если а ≠0, то x=1/a . Пример 4. Решить уравнение (а2 – 1)•х = a + l, Решение. Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи: 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0•х= 2 и не имеет решений; 2) а = -1; получаем 0•х = 0, и очевидно х – любое число. 3) а ≠ ±1; имеем х =1/(а-1). Ответ. Если а = -1 , то х - любое; если а = 1, то нет решений; если а ≠ ± 1 , то х =1/(а-1). Пример 5. Решить неравенство ах < 1. Решение. Как и ранее, анализ трех возможностей а > 0 , а = 0, а < 0 позволяет получить следующий Ответ. Если а < 0,то х > 1/а; если а = 0, то y - любое; если а > 0, то х < 1/а. Пример 6. Решить неравенство |x+3 | > - а2. Решение. Ясно, что при а ≠ 0 правая часть неравенства отрицательна, и тогда при любом х левая часть больше - правой. В случае, когда а = 0, важно не упустить, что исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х = -3. Ответ. Если а ≠ 0, то х - любое; если а = 0, то х < -3 или х > -3. Пример 7. Решить уравнение ∛x=a1/3 Решение. Легко увидеть, что х = а - единственный корень данного уравнения. Однако, этот результат — еще не ответ. Специфика задач с параметрами предполагает даже в таком тривиальном уравнении, как х - а = 0, помечать, что х = а - корень при любом а. Итак, Ответ. Если а > 0 , то х = а; если а < 0, то нет решений. Пример8. Решить уравнение (x-a)/(x-1) =0. Решение. Как и в предыдущем примере, х = а - единственный корень. Понятно, что условие х ≠ 1 влечет за собой требование a ≠1. Ответ. Если а ≠ 1, то х = а; если а = 1, то нет решений. Пример 9. Решить неравенство (a-1)√x≤ 0 Решение. Понятно, что ответ зависит от знака двучлена а-1 . При а < 1 очевидно данному неравенству удовлетворяет любое значение х из области определения, т.е. х > 0. При а > 1 левая часть неравенства неотрицательна, поэтому в рассматриваемом случае х = 0 единственное решение. Ответ. Если а < 1, то х > 0; если а > 1, то х = 0, Пример 10. Решить уравнение (х-1)√(x-a) = 0. Решение. Данное уравнение равносильно системе х ≥а, x=1 х = а. Отсюда х = а - корень исходного уравнения при а любом, а х = 1 - корень лишь при а≤1. Ответ. Если а < 1, то х = а или x = 1; если а = 1, то x = 1; если а > 1, то х = a. Рассмотрим задачи, где за счёт параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения(неравенства системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и др. Пример 11. При каких а неравенство (х - а)(х -2) < 0 имеет единственное решение? Решение. Легко догадаться, что а = 2 удовлетворяет требованию задачи. Действительно, при а = 2 получаем неравенство (x-2)2 ≤ 0, имеющее единственное решение. Для случая, когда а ≠ 2, решением неравенства очевидно будет отрезок. О т в е т. а = 2. Пример 12. При каких а, решением неравенства (х - а)2 (x-2)(х+3) ≤ 0 будет отрезок? Решение. Так как (х - а)2 ≥ 0, то данное неравенство равносильно системе (x-2)(x+3) ≤ 0, х = а. Решением неравенства системы будет отрезок [-3; 2 ]. Следовательно, при а ∈ [-3; 2 ] решением системы также будет отрезок. Ответ. -3 ≤ а ≤ 2. Пример13. При каких а уравнение ax2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же а≠0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12а принимает значение, равное нулю, при а = 1/12. Ответ. а = 0 или а = 1/12. Пример 14. При каких а уравнение (а-2)х2 +(4-2а)х +3 = 0 имеет единственное решение? Решение. Понятно, что надо начинать со случая, а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠2, то данное уравнение - квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5. Поскольку мы установили, что а = 2 не подходит, то Ответ. а = 5. Полезно рассмотреть еще примеры, где параметр "расставляет ловушки*'. | |
| Просмотров: 1158 | |
Воскресенье, 2024-05-19, 5:16 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|