Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Тема: Решение квадратных уравнений. Алгебра. 8 класс
| I этап: Актуализация Вступление учителя: При решении текстовых задач с несколькими неизвестными используется алгебраический метод решения, т.е. составление и решение уравнений. Многие задачи приводят к квадратным уравнениям. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры. Современные обозначения и решение квадратных уравнений были найдены в трудах Леонардо Фибоначчи, Михаила Штифеля, Рене Декарта, Исаака Ньютона и Франсуа Виета. Решение квадратных уравнений по формулам связано с вычислениями выражений, зависящих только от значений коэффициентов квадратного уравнения; с помощью теоремы Виета корни квадратного уравнения могут быть найдены подбором, могут быть определены знаки корней, но многие свойства коэффициентов не отражены в школьных учебниках математики, а зная их, можно экономить время и эффективно решать уравнения. II этап: Анализ домашней работы: Наибольшее число ошибок допускается при нахождении дискриминанта, а именно в произведении 4ас неверно определяется знак «-» или «+». Повторим материал 6 класса: если в произведении чётное число отрицательных множителей, то ставится знак «+», если в произведении нечётное число отрицательных множителей, то ставится знак «-». Примечание: число 4 формуле имеет знак «-». D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 Проверим: Решим: (устно) D = 4 - 4 5 (-1)= 16+20=36 D = (-2) - 4 16 (-5)= 4+320=324 D = (-36) - 4 28 11= 1296 - 1232= 64 D = 21 - 4 (-49) (-2)= 441-392=49 D=(–3) – 4 (-2) (-1) = D= 6 – 4 9 1= D=1 – 4 (-20) 1= III этап: лабораторная работа Тема: Решение квадратных уравнений. Цель: исследование свойств коэффициентов квадратного уравнения; существования наличия связей между коэффициентами квадратного уравнения, которые помогут более эффективно и экономично решать его. Практическое нахождение корней уравнения с помощью циркуля и линейки. Оборудование: набор квадратных уравнений, циркуль, линейка, карандаш. Объект исследования: квадратные уравнения. Ход работы: I этап Некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения. 1. Если а и с имеют противоположные знаки, то уравнение имеет действительные корни. А именно: Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки (в <0, то корни положительные; в>0, то корни отрицательные). Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки ( в>0, то корень больший по модулю отрицательный). Выполнить задание: тесты ВОУД 2. Если а + в + с = 0 , то х =1, х = . Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0. а+ b+c= 0, х =1, х = . 1+ 4+(–5)= 0. Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта: D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36. х = = = – 5. х = = =1. 3. Если а + с = в, то х = –1, х = Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0. Если b= а+c, то х = –1, х = . 8 =2 +6. Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта: D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16. х = = = –3. х = = = –1. 4. Закономерность коэффициентов: 1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х = –а; х = – . Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0. х = –6; х = – . 2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х = а; х = . Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0. х = 15; х = – . 3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х = –а; х = . Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0. х = –17; х = . 4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х = а; х = – . Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0. х = 10; х = – . II этап Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Графический метод решения квадратных уравнений имеет существенные недостатки: он достаточно трудоёмкий, при этом точность построения кривых — парабол низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой. Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий. 1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке , пересекающую ось y в точке C(0;1). 2. Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох – корни уравнения. Возможны три случая: • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек; • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2; • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве нет. Задание №121(3,4) Вывод:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________ Оценка: в течение урока по ходу решения уравнений: по тексту лабораторной работы, из набора, а также за задания ВОУД учащиеся получают карточки (см. приложения) и в конце урока каждый находит среднее арифметическое своих оценок. Домашнее заданние: 1. Теоритический материал. х2 + рх + q = 0, Рассмотреть приведённое квадратное уравнение, где р и q – любые числа отличные от нуля. Если свободный член q приведённого квадратного уравнения положителен ( q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р. Если р > 0 , то оба корня отрицательны , если р < 0 , то оба корня положительны. ПРИМЕР: х – 14х + 48 = 0 х + 19х + 90 = 0 х = 6 , х =8 , х = -9 , х =-10 ОТВЕТ : 6; 8 ОТВЕТ : - 9 ; - 10 Если свободный член q приведённого квадратного уравнения отрицателен ( q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет положителен, если р < 0, если р > 0 - отрицателен. х – 2х - 15 = 0 х + 2х - 8 = 0 х = 5 , х =-3 х =-4 , х =2 ОТВЕТ : 5 ; -3 . ОТВЕТ : - 4 ; 2. 2. Решить квадратные урвнения с помощью циркуля и линейки №121 (1,2) учебник для 8 класса «Алгебра» /А. Абылкасымова, И. Бекбоев , А. Абдиев, З. Жумагулова/. 3. Решить квадратные уравнения с использованием свойств коэффициентов : №129(1,4) ПРИЛОЖЕНИЯ ВОУД (задания из сборника тестов): Не решая уравнений, укажите, какие из них имеют корни с противоположными знаками: Задание 1: х - x - 6=0 х -5x + 6=0 х - x - 12=0 х - 8x + 15=0 х - 2x - 15=0 А. 1,2,3 В. все С. 1,3,5 Д. 4,2,3 Е. 2,3,4,5 Задание 2: х - 3x - 54=0 х + x - 12=0 2х + 7 x + 3=0 5х + 4x - 1=0 3х - 5x - 2=0 А. 1,3,5 В. 1,2,3 С. 1,2,4,5 Д. все Е. 3,4,5 Задание 3: 2х + 5x - 3=0 3х + 5x - 3=0 4х + 13x + 3=0 х - 11x + 30=0 х + 15x + 54=0 А. 1,3,5 В. 1,2,5 С. 1,2 Д. все Е.4,5 Задание 4: х - 4,5x + 2=0 3х +8x -3=0 3х + 7x - 3=0 х - 7x + 10=0 х - 3x - 18=0 А. 1,2,3 В. 2,3,5 С. 3,4,5 Д. 1,5 Е. все Задание 5: х - x - 20=0 5х -26x + 3=0 х + 10 x + 9=0 х - 4x + 3=0 х - 2x - 3=0 А. 1,2,5 В. 1,3,5 С. 1,5 Д. 3,4,5 Е. все ФИ____________________________________ Ответы: Задание 1: Задание 2: Задание 3: Задание 4: Задание 5: Ответы: Задание 1: С. 1,3,5 Задание 2: С. 1,2,4,5 Задание 3: С. 1,2 Задание 4: В. 2,3,5 Задание 5: С. 1,5 Набор уравнений: Свойства коэффициентов квадратного уравнения: I. №128(4), №133 (4) а) 4х2 – 12х +8х = 0. б) х2 – 6х + 5= 0. в) 45х2 – 23х - 22= 0 г) х2 + 6х - 7= 0 д) 11 х2 + 25х - 36= 0. е) 3х2 + 5х - 8= 0 ж) 5 х2 – 7х + 2= 0 з) 5х2 + 4х - 9= 0 и) 2х2 + 3х + 1= 0 к) х2 + 17х - 18= 0 л) 345х2 – 137х - 208= 0. II. №130(2), №133 (1,2,6) а) 2х2 + 3х + 1= 0. б) 5х2 - 7х - 12= 0. в) 3х2 + 5х + 2= 0. г) 11х2 + 25х + 14= 0. д) 5х2 + 4х - 1= 0. ж) х2 + 4х + 3= 0 з) 5х2 - 4х - 9= 0. и) 100 х2 - 97х - 197 = 0 к) 7х2 + 2х - 5=0 е) 2008 х2 + 2005х – 3 = 0 Закономерность коэффициентов: а) 5х2 + 26х + 5= 0. б) 7х2 + 48х –7 = 0. b = (а2 +1); b = (а2 –1); в) 7х2 + 50х + 7= 0. г) 11х2 - 122х + 11= 0. С помощью циркуля и линейки: №121 (3,4) х2 - 2х - 3 = 0. х2 + 2х - 3= 0. х2 - х – 6 = 0. х2 + 4х + 6= 0. х2 - 4х + 4= 0. Если а и с имеют противоположные знаки, то уравнение имеет действительные корни. А именно: Если с – положительное число корни имеют одинаковые знаки: в <0, то корни положительные; в>0, то корни отрицательные. Если с – отрицательное число корни имеют противоположные знаки: в>0, то корень больший по модулю отрицательный. Закономерность коэффициентов Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 b = (а2 +1), с = а х = –а; х = – ax2 – bx + c = 0 b = (а2 +1), с = а х = а; х = ax2 + bx – c = 0 b = (а2 - 1), с = а х = –а; х = ax2 - bx – c = 0 b = (а2 - 1), с = а х = а; х = - | |
| Просмотров: 2760 | |
Среда, 2024-11-20, 9:25 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|