Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Решение уравнений высших степеней.
| Решение уравнений высших степеней. Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высших степеней нет, и поэтому об их решении говорят как об искусстве решать пример нестандартно. Рассмотрим некоторые методы решения уравнений: Уравнения вида аnхn+an-1 ∙ x n-1+…+a1x+a0=0 называется симметричными, если аn=a0, an-1=a1; …, т.е. если равноудаленные от концов коэффициенты попарно равны. Пример х4 - 2х3 - х2 + 1 = 0 Т.к. х=0 не является решением уравнения, то разделив обе его части на х2, получим Х2- 2х-1 - 2/х + 1/х2 = 0 (Х2 + 1/х2) – 2 ∙ (х + 1/х) – 1 = 0 Замена: х + 1/х = а (х + 1/х )2= а2 Х2 + 2 + 1/х 2 = а2 Х2 + 1/х 2 = а2 – 2 а2 – 2а -3 = 0 а1=3, а2 = -1 х + 1/х = 3 2) х + 1/х = -1 х1/2 = (3+√5)/2 нет решений Ответ: (3+√5)/2 Пример х4 - 2х3 – 6х2 + 2х + 1 = 0 Ответ: 1; 2 ± √3 II. Уравнение вида (х+а) ∙ (х+в) ∙ (х+с) ∙ (х+d) = е сводится к квадратному, если а + в = с + d Пример (х-4) ∙ (х-5) ∙ (х-6) ∙ (х-7) = 1680 (х-4) ∙ (х-7) ∙ (х-5) ∙ (х-6) = 1680 (Х2 - 11х + 28) ∙ (Х2 - 11х + 30) = 1680 Обозначим: Х2 - 11х + 28 = а а ∙ (а + 2) = 1680 а2 + 2а – 1680 = 0 а1= - 42, а2 = 40 х2 - 11х + 28 = -42 2) х2 - 11х + 28 = 40 х2 - 11х + 70 = 0 х2 - 11х – 12 = 0 нет решений х1 = 12 х2 = -1 Ответ: -1, 12 Пример (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) ∙ (х + 5) = 40 (х + 1) ∙ (х + 5) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) = 40 (х2 + 6х + 5) ∙ (х2 + 6х + 8) = 40 Ответ: -6, 0 Пример х ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 3) = 24 х ∙ (х + 3) ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) = 24 (х2 + 3х) ∙ (х2 + 3х + 2) = 24 Ответ: -4, 1 III) Метод замены переменной Пример х4 – х3 – 4х2 + 2х +4 = 0 Замена: t = х - 2/х t2 - t = 0 t1 = 0, t2 = 0 х - 2/х = 0 х - 2/х = 1 х = ±√2 х = -1, х = 2 Ответ: ±√2 , -1, 2 Пример х3 + 3х2 + 7х + 10 = 0 Ответ: -2 4 Метод неопределенных коэффициентов. Пример х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = 0 Разложим многочлен х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 на два квадратных множителя: х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = (х2 + ах + в) ∙ (х2 + сх + d) Найдем «неопределенные» целые коэффициенты а,в, с и d. Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях: {█(1=а+с @-8=ас+в+ d@3=аd+ вс@5=вd)┤ Т. к. множители в последнем уравнении системы равноправны, то можно считать, что в = 1 или в = -1. При в = 1 d=5,ас=-14, а + с = 1 целых решений нет. При в = -1, d=-5,ас=-2, а + с = 1. Получаем, что либо а = 2, с = -1, либо а = -1, с = 2. Третьему уравнению удовлетворяет лишь вторая пара. Тогда х4 + х3 – 8х2 + 3х + 5 = (х2 - х - 1) ∙ (х2 + 2х - 5) Ответ: (1 ± √5)/2; √6 ± 1 Пример № 344 из учебника «Алгебра и начала анализа» для 11 класса. 32х4 – 48х3 – 10х2 + 21х + 5 = 0 Ответ: -1/2; -1/4; 1; 11/4 . В пробных сборниках по подготовке к ЕНТ также встречаются аналогичные задания. ЕНТ 2010-2011 (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=120 Ответ: - 6;1. Х4-5х3+6х2-5х+1=0 Ответ:2±√3 ЕНТ 2012 вар13 №20 (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=-15 Ответ: -4±√6;-2;-6. ЕНТ 2010 вар4 №11 1\х(х+6) -1\(х+3)2=-9\20 Ответ: -5;-1;-3±√5. Разнообразные приемы и методы решения уравнений способствуют повышению уровня математического развития детей и расширению их кругозора. Литература. Рустюмова И.П. Пособие для подготовки к ЕНТ – Алматы, 2007 Цыпкин А.Г Справочник по математике .- М, «Наука», 1984 Абылкасымова А., «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса.- Алматы, Мектеп, 2011, Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М. Наука, 1971 Автор: Елюбаева Гайша Ищановна, | |
| Просмотров: 1288 | | |
Среда, 2024-11-20, 1:38 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|