Усманова Рашида Салихжановна

Одной из важнейшей теоремой геометрии называют теорему Пифагора. Хотя эту теорему и связывают с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, другим свидетельством – даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Многие известные мыслители и искатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
Прямоугольный треугольник, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древними египтянами.
Если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5, то этот треугольник – прямоугольный. Этот факт использовали для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более египетских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии друг от друга завязывали узлы. В точке, где надо было построить прямой угол, забивали колышек и натягивали веревку так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Безошибочность такого построения следует из теоремы, обратной теореме Пифагора: сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. И действительно, 32+42=52. Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения: х2+у2=z2
Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения других целочисленных решений.
Если числа х, у и z пропорциональны числам 3, 4 и 5, то эти числа тоже будут корнями уравнения х2+у2=z2.
То есть (nx)2+(ny)2=(nz)2, тогда при n=2; 2х=6, 2у=8, 2z=10, 62+82=102
6, 8, 10 – вторая пифагорова тройка.
При n=3; 3х=9, 3у=12, 3z=15, 92+122=152
9, 12, 15 – третья пифагорова тройка и т.д.
Нетрудно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из чисел, указать остальные два? Например, необходимо, чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выражаться целым числом сантиметров? Такие вопросы интересовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли ответы на них. Знал это и Пифагор.
Один из путей решения уравнения х2+у2=z2 в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 …
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 …

А теперь обратим внимание! В нижней строке есть числа. Первое из них 9=32, над ним 16=42 и 25=52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.
Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую известную нам тройку 5, 12, 13. Если вы продолжите строку квадратных чисел и подсчитаете соответствующие разности, то во второй строке найдете 49=72, этому числу отвечают в строке квадратов 576=242 и 625=252. И действительно, 72+242=252. Это уже третья тройка. Она была известна еще в Древнем Египте. Кстати, вы, наверное, уже обратили внимание на то, что мы имеем право сформулировать такую теорему:
КАЖДОЕ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ.
Составлять такие строки – довольно скучное и трудоемкое занятие. По формулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее. Эти формулы -правила были известны уже две с половиной тысячи лет назад. Если х – нечетное число, то и . B этом случае равенство х2+у2=z2 выполняется, т.е. числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:
Если х=3, то =4, получилась первая пифагорова тройка;
Если х=5, то , - вторая тройка;
Если х=7, то y= , - третья тройка.
Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное число 9, тогда у=40 и z=41.
Проверим наши вычисления:
92+402=412.
Следующим шагом было установление правила вычисления всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сделаем этот шаг и мы.
Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
x2=z2-y2;
x2=(z+y)(z-y)
Это означает, что число х должно разлагаться на два неравных множителя z+y и z-y, которые мы обозначим так, что получиться такая система:

Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны квадраты, а не просто числа a и b? Это сделано с целью получения аккуратных ответов. Решив эту систему, получим:
z=a2+b2; y=a2-b2; x=2ab; (при этом надо иметь в виду, что a>b).
Из этого следует, что наименьшим значением числа b может быть только единица, тогда наименьшим значением a будет 2. Вычислим x, y, z. Получается z=5, y=3, x=4, это уже известный нам «египетский треугольник».
Рассмотренные различные способы позволяют вычислению всех возможных целочисленных значений длин сторон прямоугольных треугольников. Эти числа и будут пифагоровыми тройками, а треугольники с этими сторонами - пифагоровыми треугольниками.