Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Решение логарифмических неравенств
| Бабаева З.Ф. учитель математики СОШ № 66 г.Караганда При решении логарифмических неравенств трудности возникают не в применении понятия логарифма и не в применении свойств возрастания и убывания логарифмической функции в зависимости от основания, хотя ошибки встречаются и здесь. Затруднения возникают, когда неравенство имеет бесконечное множество решений или не имеет решений; при решении неравенств вида x^2>a, x^2<a; при сравнении логарифмов чисел и определении знака логарифма числа. Но наибольшая проблема – это определить, когда решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы рациональных неравенств, а в каком случае – к решению совокупности рациональных неравенств. В данной статье предлагается набор неравенств, решение которых позволит еще раз попытаться разобраться в возникших проблемах. 〖1.log〗_(1/9)〖(4x-3)≥〗 log_(1/9)〖(x+3)〗 {█(4x-3>0,@x+3>0,@4x-3≤x+3 (0<1/9<1);)┤ {█(x>3/4,@x>-3,@x≤2.)┤ Ответ: х∈(3/4;┤ ├ 2]. 〖2.log〗_(1/2)〖(x^2-x-2)>〗-2, 〖 log〗_(1/2)〖(x^2-x-2)>〗 log_(1/2)4 {█(x^2-x-2>0,@x^2-x-2<4 (0<1/2<1);)┤ {█((x-2)(x+1)>0,@x^2-x-6<0;)┤ {█((x-2)(x+1)>0,@(x-3)(x+2)<0.)┤ Ответ: х∈(-2;┤-1)∪(2;3). 3. log22 x + 2log2 x – 3>0. Пусть log2 x = t, тогда неравенство принимает вид: t^2+2t-3>0; (t-1)(t+3) >0; [█(t>1,@t<-3.)┤ Значит, [█(log_2〖x>1,〗@log_2x<-3;)┤ [█(log_2〖x>〗 log_2〖2,〗@log_2x<log_2〖1/8〗.)┤ Данная совокупность равносильна следующей совокупности двух систем рациональных неравенств: [█({█(x>0,@x>2;)┤@{█(x>0,@x<1/8;)┤ )┤ [█(x>2,@0<x<1/8.)┤ Ответ: х∈(0;┤ 1/8)∪(2;+∞). 4. (3-х)lg(2x-1)≥0. 1 способ. Произведение двух множителей является неотрицательным, если они оба неотрицательны или оба неположительны. Значит, данное неравенство равносильно следующей совокупности: [█({█((3-х)≥0,@lg(2x-1)≥0;)┤@{█((3-х)≤0,@lg(2x-1)≤0;)┤ )┤ [█({█(х≤3,@2х-1>0,@2х-1≥1;)┤@{█(х≥3,@2х-1>0,@2х-1≤1;)┤ )┤ [█({█(х≤3,@х>1/2,@х≥1;)┤@{█(х≥3,@х>1/2,@х≤1.)┤ )┤ Вторая система последней совокупности содержит два несовместных неравенства х≥3 и х≤1, а значит, не имеет решений. Следовательно, {█(х≤3,@х≥1.)┤ Ответ: х∈[1;┤ ├ 3]. 2 способ. Изобразим схематически графики функций у=3-х и у=lg(2х-1) При х∈(1;3) графики обеих функций расположены по одну сторону от оси абсцисс, то есть значения этих функций при указанных значениях аргумента одного знака (положительны), значит, произведение соответствующих значений этих функций будет числом положительным, а при х=1 и х= 3 оно будет равно 0. При других значениях аргумента графики функций расположены по разные стороны от оси абсцисс, а значит, произведения соответствующих значений этих функций отрицательны, что не удовлетворяет условию. Следовательно, (3-х)lg(2x-1)≥0 при х∈[1;┤ ├ 3]. 5. 〖log_(x-1) (〗〖x-8)≤1〗 〖log_(x-1) (〗〖x-8)≤〗 log_(x-1)〖(x-1).〗 Поскольку основание логарифма содержит переменную, невозможно однозначно судить о возрастании или убывании логарифмической функции, значит, данное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств: [█({█(x-1>1,@x-8>0,@x-8≤x-1;)┤@{█(0<x-1<1,@x-8>0,@x-8≥x-1;)┤ )┤ [█({█(x>2@x>8,@0≤7;)┤@{█(1<x<2,@x>8,@0≥7.)┤ )┤ Вторая система последней совокупности содержит неверное неравенство 0≥7, следовательно, она не имеет решений. Таким образом, х>8. Ответ: х∈(8;+∞) 6. log_2〖(x-1)-log_2〖(x+1)+log_((x+1)/(x-1))〖2>0〗 〗 〗 Найдем область допустимых значений переменной х. {█(x-1>0,@x+1>0,@(x+1)/(x-1)>0,@(x+1)/(x-1)≠1;)┤ {█(x>1,@x>-1,@x+1≠x-1.)┤ То есть, х>1. Преобразуем логарифмы к одному основанию 2. log_2〖(x-1)/(x+1)+1/log_2〖(x+1)/(x-1)〗 >0;〗 log_2〖(x-1)/(x+1)-1/log_2〖(x-1)/(x+1)〗 >0.〗 Пусть log_2〖(x-1)/(x+1)〗=t, тогда неравенство примет вид: t-1/t>0; (t^2-1)/t>0; ((t-1)(t+1))/t>0. [█(t>1,@-1<t<0.)┤ Значит, [█(log_2〖(x-1)/(x+1)>1,〗@〖-1<log〗_2〖(x-1)/(x+1)<0;〗 )┤ [█(log_2〖(x-1)/(x+1)>log_22,〗@〖log_2〖1/2〗<log〗_2〖(x-1)/(x+1)<log_21;〗 )┤ [█((x-1)/(x+1)>2,@1/2<(x-1)/(x+1)<1.)┤ Так как х+1>0, то умножим обе части неравенств на (х+1), не изменяя знаков неравенств: [█(x-1>2x+2,@{█(x-1<x+1,@x-1>1/2 (x+1);)┤ )┤ [█(x<-3,@{█(0<2 (верно при любом х),@x>3;)┤ )┤ [█(x<-3,@x>3.)┤ Учитывая область допустимых значений (x>1), получим, x>3. Ответ: х∈(3;+∞). | |
| Просмотров: 667 | |
Пятница, 2026-02-27, 11:04 AM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|