Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
решение прямоугольного треугольника по его периметру
| РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЕГО ПЕРИМЕТРУ Амангельды Садыков Учитель математики «Геометрические знания составляют основу всей точной науки» Д.И.Менделеев Дорогие ребята, юные приверженцы науки! Наверное, многие из вас из школьного курса геометрии известно решение треугольников, т.е. по известным углам и сторонам треугольников вы без особого труда умеете определить неизвестных их углы и стороны. Каким признаками и свойствами обладают разные треугольники, все это вы хорошо знаете. А что вы знаете о периметре прямоугольного треугольника, вернее пытались ли вы среди прямоугольных треугольников, примеры которых выражаются одним и тем же действительным числом, найти такой прямоугольный треугольник, стороны которого равны тройкам только определенных целых или нецелых действительных чисел. Интересовали ли вас, вообще, способы их нахождения. Вот на эти существенные вопросы мы с вами будем искать ответы. Задача 1. Среди прямоугольных треугольников, периметры которых равны 12, найти такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражались тройкой только целых чисел. Практическое решение задачи всегда интересно, если имеет место такое решение, и в нашем случае, кстати, это не исключение, т.е. возможен такой путь решения с помощью бечевки. Для этого бечевку узлами делим на 12 равных частей и концы связываем, затем бечевку растягиваем так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4 и 5 деления, угол треугольника противолежащий стороне с 5 делениями будет прямой (32 + 42 = 52). При практическом решении данной задачи мы поступили именно так, как поступали землемеры древнего Египта для построения прямого угла. Об этом вы хорошо осведомлены из учебника геометрии 8-класса. Задача 2. Найти любой прямоугольный треугольник периметр которого равен 30, а длина его сторон выражались определенными действительными числами. Существует следующее свойство подобных многоугольников. Отношение периметров подобных многоугольников равно отношению их соответствующих сторон (коэффициенту подобия). В ходе решения задачи будем пользоваться этим свойством. Для начала вернемся к решению предыдущей задачи. ВС = 3 и АС = 4, то АВ = 5 и Р∆АВС = 12 (Рис. 1). Рис. 1 Допустим, = 1,5, тогда Р∆АВС = 18. В1С = 4,5, А1С = 6 и А1В1 = 7,5. Итак, исходя из прямоугольного треугольника АВС с периметром 12, имеем подобный ему треугольник А1В1С с периметром 18. Из вершин А и В опускаем перпендикуляры АМ и ВD на А1В1. Затем откладывая от точки М один из появившихся отрезков DВ1 на отрезке А1В1 и следующий очередной отрезок А1N от точки А на отрезке АВ, тем самым получим отрезок АС1. Примечательно, что АС1 = ВС1 = А1N. Проводя через две точки С и С1 прямую, имеем отрезок С1С2. На прямой СС1 откладываем отрезки С2С3 и С3С4 так, что выполнялось условие С1С2 = С2С3 = С3С4. Если провести через точки С3 и С4 прямые параллельные прямым содержащие отрезки А1В1 и АВ, то образуются еще два треугольника А2В2С и А3В3С подобных предыдущим треугольникам. У последнего треугольника длина сторон равен 7,5, 10 и 12,5, а периметр равен 30. Это видно из Рис. 1. Задача 3. Из прямоугольных треугольников периметры которых равны 30, найти хотя бы один прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются только целыми числами. Во всякой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Опираясь на эту закономерность, прежде всего решение будем искать допуская что Р любое действительное число, выражающие периметр треугольника. Пусть а + b + c = P и r – радиус вписанной окружности (Рис. 2). Рис. 2 Тогда имеем, (Р, r отсюда, Р2 – 2Р(а + b) + 2Pr = 0 или P – 2(a + b) + 2r = 0. Учитывая, что b = следовательно, получим относительно а квадратное уравнение D ≥ 0, поэтому решив неравенство выделим необходимое нам множество – значений, которые принимает r. Таким образом, r (0; Р(1,5 - ) Для того чтобы корнями уравнения ab = rP являлись целые числа a и b, рассмотрим определенные целые значения r. По условию P = 30, то r (0; 30(1,5 - √2)]. Стало быть, r = 1, r = 2 и тогда 1) ab = 30 или 2) ab = 60. Числа 30 и 60 разложим на простые множители: 30=2∙3∙5 и 60=2∙2∙3∙5 1) Откуда если a = 2, a = 3 и a = 5, то b = 15, b = 10 или b = 6. Такое невозможно. 2) Отсюда если a = 5, то b = 12 и, очевидно, с = 13 (Рис. 3). Рис. 3 Примечание. Дискриминант от квадратногоуравнения можно рассматривать как функцию f ®= и ее производную, где r (0; Р(1,5 - ) Задача 4. Сколько всего прямоугольных треугольников, периметры которых равны 30, а длинами сторон являются только тройки целых чисел. Если вы знакомы со статьей под названием «Еще раз о прямоугольном треугольнике» ( автор А.Садыков), опубликованной в журнале «Репетитор» №3-2003 г., то заведомо знаете, что имеется закономерность a + b – с = 2n (n N). При решении, как и в предыдущем случае воспользуемся этой закономерностью. Поэтому уместно рассмотреть следующую систему уравнений (1) (2) Из (2) системы уравнений имеем 2а2 – (2n + Р)а + 2Рn = 0 (n N). Поразительно то,что получили первоначальное уравнения дважды. Таким образом, найдены квадратные уравнения и 2а2 – (2n + Р)а + 2Рn = 0, позволяющие определить стороны прямоугольного треугольника по его периметру на определенным промежутке. D ≥ 0 т.е. 4n2 – 12Рn + Р2 ≥ 0. Все значения n составляют множество n (- ∞;Р (1,5 – )] и n [ Р(1,5+ ); + ∞). Так как n N, то нам достаточно рассмотреть те целые значения n, которые принадлежат промежутку n [1; Р(1,5 – )). Далее, по крайней мере, одно значение квадратного трехчлена 4n2 – 12Рn + Р2, при определенном целом значении n обязательно должно быть квадратом целого числа. Только тогда мы можем определить целые значения a, b и с удовлетворяющие систему уравнений (2). В нашем случае периметр рассматриваемого прямоугольного треугольника равен 30, то n принимает целые значения в множестве n [1;30(1,5 – )). Таким образом, n = 1, Р = 30, 4 ∙ 12 – 12 ∙ 30 ∙ 1 + 302 = 544; n = 2, Р = 30, 4 ∙ 22 – 12 ∙ 30 ∙ 2 + 302 = 196. Итак, при n = 2 имеем отсюда a = 5, b = 12. Следовательно, существует всего лишь один прямоугольный треугольник, у которого периметр равен 30, а длины сторон равны целым числам 5, 12 и 13 (Рис. 3). Для самостоятельной работы. Упражнение. Сколько всего прямоугольных треугольников, у которых стороны выражаются тройками только целых чисел, а периметры равны 84. Задача 1. Доказать, что если Р < 12 (Р Z), то не существует ни одного прямоугольного треугольника, у которого длинами сторон являются только целые числа. Задача 2. Периметр прямоугольного треугольника равен Р (Р R). Доказать, что радиус вписанной в него окружности имеет наибольшее значение только при a = b = Р (1 – 0,5 ). Задача 3. Определить, какое значение имеет наибольший радиус из окружностей, вписанных во все прямоугольные треугольники с периметрами 12. Задача 4. Доказать, что среди прямоугольных треугольников, периметры которых равны 90, существуют всего два прямоугольного треугольника, стороны которых выражаются только целыми числами. Программа для определения сторон прямоугольного треугольника по данному периметру на промежутке [1; P(1,5 - )). Program Pifagor2; uses crt; var x, y, z, r: real; s, i, j, n: longint; begin clrscr; writeln (‘:’); write (‘s = ’); readln (s); r:=s*(1.5 – sqrt(2)); for n:=1 to trunc ® do if frac (sqrt(4*n*n – 12*s*n + s*s)) = 0 then begin z:=(s – 2*n)/2; for i:= 1 to round (z) do for j:= 1 to round (z) do if (i + j = (s + 2*n)/2) and (i*j = s*n) then writeln (‘c =’, z:3:0, ‘,’,’a =’, i, ‘,’,’b =’, j); end; end. | |
| Просмотров: 775 | |
Суббота, 2024-12-21, 12:04 PM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|