9 класс. Алгебра
Тема урока: Формула суммы первых n-членов арифметических прогрессий.
Цель урока: 1. Научить учеников формулам суммы первых n-членов арифметической прогрессий и применению их при решении задач.
2. Ознакомить с историческими данными о прогрессиях.
Опорные умения Уметь находить суммы первых n-членов
и навыки: арифметической прогрессий и использовать в последующих темах.
Образовательные: Систематизация и углубление знаний и навыков, закрепление и обобщение данной темы.
Развивающие: Развитие и активизация познавательной деятельности, внимания, интереса к теме, памяти.
Воспитательные: Воспитание у учащихся чувства ответственности, культуры современного труда, простоты, четкости мышления.
Оборудование: Таблица, Энциклопедический словарь математика, справочная папка с формулами.
План урока
I – этап: Организационный момент
II – этап: Проверка домашнего задания
III – этап: Сообщение темы урока
IV – этап: Новая тема
V – этап: Краткое ознакомление с историческими данными
VI – этап: Закрепление новой темы
VII – этап: Домашнее задание
VIII – этап: Итог урока, оценка знаний учащихся. I – этап: Организационный момент.
Приветствие с классом, отметить отсутствующих.
Подготовка учащихся к уроку. Сосредоточить мысли к начинающему уроку.
II – этап: Проверка домашнего задания
№ 167
Какие из последовательности являются арифметическими прогрессиями.
А) 1, 4, 7, 10, 13… d=3 – является
Б) 3, 0, -3, -6, -9… d=3 – является
В) 4, 9, 16, 25, 36… - не является
III-IV – этап: Сообщение темы урока. Повторение формулы n-го члена арифметической прогрессии d – разность арифметической прогрессии
n – число членов арифметической прогрессии
a1 – первый член
an – n-ый член А теперь нам надо вывести формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через Sn, Sn= a1+a2+a3+…+an , а теперь напишем в обратном порядке, затем почленно складывая, получим.
Арифметическая прогрессия
Sn= a1+a2+…an-1+an
Sn= an+an-1+…a2+a1
2Sn=(a1+a2)+(a2+an-1)+…(a2+an-1)+(a1+an) 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)+ (a1+an)
n-двучленов
2Sn=n•(a1+an)
(I)
an =a1+(n-1) d
(II) Эти формулы позволяют легко найти число членов прогрессии по данным a1, d, Sn. Теорема:
Сумма первых n-членов арифметической прогрессий равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов. V – этап:
С этой связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет учитель занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:
Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно. 1+2+3+…+40
Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.
Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820
1, 2, 3, … 20
+
40, 39, 38,…41
41, 41, 41,…41
Рассмотрим примеры на использование полученных формул. VI – этап: 1) Найдем сумму первых 20 членов арифметической прогрессии:
1, 3, 5,… а1=1 а2=3,5
Решение: Первый член прогрессии равен 1. а1=1
an=a1+(n-1)d 1) разность равна а2-а1=3,5-1=2,5
d=2,5
2) Найдем 20-член этой прогрессии:
а20= 1+2,5(20-1) = 1+2,5*19= 48,5
Ответ: 495. №187
I – в II – в
a1 =10 a1=10 d=4; an=14
d=4
an=50
Найдите n и Sn. Решение
I в. II в.
аn = a1+(n-1) d
50=10+(n-1)*4
50=10+4n-4
50-10+4=4n
44=4n
n=11
a11=a1+10d=10+40=50
a11=50
S11=330; a1=10 d=4 an=14
14=10+(n-1)*4
14=10+4n-4
14-10+4=4n
8=4n n=2
a2=a1+d=10+4=14
S2=24
Закрепление:
№191
Дана арифметическая прогрессия 2, 5,8, ...
Найдите 15-й член и сумму 15-ти членов прогрессии
n=15 a1=2 a2=5 d=a2-a1=5-2=3 d=3
a15=a1+14d=2+14*3=44
Ответ: 44, 345.
VII – этап: Домашнее задание №187 (а) №188
VIII – этап: Подведем итог урока. Оценка знаний учащихся.
Спасибо дети за урок, до свидания.
|