• Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

IV. Решение задач.

Задача 1.

Построить сечение треугольной призмы
плоскостью, которая проходит через три точки
К, М, и N, которые лежат соответственно на
ребрах СВ, А1В1 и АС
.

Построение

а) NK – cлед (MNK) на (АВС)
Х – точка пересечения прямых NK и АВ

б) МХ – cлед (MNK) на (АВВ1)

в) продлим ребро АА1
L – точка пересечения прямых МХ и ВВ1
У – точка пересечения МХ и прямой АА1

г) УN – след (MNK) на (АА1С1)
F – точка пересечения прямой УN и ребра А1С1

Задача 2.

Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R

Построение.

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Задача 3.

ABCD – правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ, и найдите его площадь.

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.
Так как основание пирамиды – равносторонний треугольник и точка М – середина стороны, то СМ является высотой и тогда, СМ = .
Площадь треугольника можно найти:
S = 1/2 • DH • CM = 1/2 • =

Задача 4 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 со стороной а плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где M – середина ребра АА1, а N – середина ребра СС1.

Решение.

Сечение строим методом следов.
Площадь сечения находим с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Ответ: S = 1/2 • a2 .

V. Домашнее задание

VI. Итог урока.

Тема урока: Сечение многогранников.
Цель урока: Обобщить, систематизировать и закрепить полученные знания и рассмотреть их развитие в перспективе.
Задачи урока:
Образовательная –
• обобщить, систематизировать и закрепить полученные знания на предыдущих уроках,
• при помощи информационных технологий построить сечения,
• проверить свои знания с помощью теста.
Развивающая –
• развитие геометрической интуиции на образы, свойства, методы построения.
• развитие пространственного мышления, пространственной абстракции, их общности, анализа и синтеза геометрических образов, пространственного воображения.
• развитие логического мышления (владение правилами логического вывода и построения, владение разными методами геометрии)
Воспитательная –
• воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность учащихся, интерес к предмету.
Ход урока
I. Организация начала занятий.
• Наши последние занятия были посвящены теме «Сечение многогранника», мы изучили основные определения, познакомились с различными методами построения сечений, решали задачи на построение и конечно же анализировали свои решения и результаты. Сегодня мы повторим, обобщим, закрепим полученные знания.
II. Актуализация опорных знаний.
• Для начала вспомним, что мы называем многогранником и сечением многогранника.
• Многогранником называется - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
• Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
• Каким способом можно задать секущую плоскость?
• Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».
• Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну»
• Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».
• Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».
III. Устное решение задач.
Вы хорошо справились с теоретическими вопросами, предлагаю устно решить задачи.
1. Докажите, что сечение, проходящее через середины ребер пирамиды параллельно плоскости основания данной пирамиды.
2. Найдите площадь данного сечения, если площадь основания равно 96. (24)
3. Найдите площадь и периметр сечения, параллельного плоскости основания тетраэдра, ребро которого равно 10 см. (15 и )
4. Найдите диагональное сечение куба, ребро которого 8 см. ( )
5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а высота 8 см. Найдите площадь диагонального сечения. (40)

• Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

IV. Решение задач.

Задача 1.

Построить сечение треугольной призмы
плоскостью, которая проходит через три точки
К, М, и N, которые лежат соответственно на
ребрах СВ, А1В1 и АС
.

Построение

а) NK – cлед (MNK) на (АВС)
Х – точка пересечения прямых NK и АВ

б) МХ – cлед (MNK) на (АВВ1)

в) продлим ребро АА1
L – точка пересечения прямых МХ и ВВ1
У – точка пересечения МХ и прямой АА1

г) УN – след (MNK) на (АА1С1)
F – точка пересечения прямой УN и ребра А1С1

Задача 2.

Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R

Построение.

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
PQRTU – искомое сечение.

Задача 3.

ABCD – правильная треугольная пирамида со стороной основания AB равной а и высотой DH равной h. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ, и найдите его площадь.

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD. Найдем его площадь.
Так как основание пирамиды – равносторонний треугольник и точка М – середина стороны, то СМ является высотой и тогда, СМ = .
Площадь треугольника можно найти:
S = 1/2 • DH • CM = 1/2 • =

Задача 4 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 со стороной а плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где M – середина ребра АА1, а N – середина ребра СС1.

Решение.

Сечение строим методом следов.
Площадь сечения находим с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Ответ: S = 1/2 • a2 .

V. Домашнее задание

VI. Итог урока.