Цель интегрированного урока – дать учащимся всесторонние (углубленные и расширенные) знания о производной, применение ее к решению различных задач; показать связь математики с другими предметами; учить учащихся работать с тестами, с целью подготовки к ЕНТ, развивать речь учащихся, мышление, вычислительную культуру, воспитывать интерес к предмету, чувство ответственности.
Оборудование: мультимидийная презентация
Основные его свойства – синтетичность и универсальность. Он позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не только данной темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в познавательный процесс.
Ход урока.
«Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.»
Учитель: Сегодня у нас необычный урок, потому что сегодня вы будете показывать истинную красоту человека, красоту своих знаний. Я бы очень хотела, чтобы вы сегодня были красивы не только внешне, но и внутренне. И так мы начинаем.
Отгадайте ключевое слово урока. ( слайды1-3)
1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй,… ;
4) Обозначается штрихом.
Правильно. Это производная. Сегодня я предлагаю вам ответить на вопрос. Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? В каких отраслях она применяется?
Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач.
1.Историческая справка (слайды 4,5)
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные элементы дифференциального исчисления. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные элементы дифференциального исчисления. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.
Но это не значит, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И.Тартальи.
В 17в. на основе учения Г.Галилея активно развилась кинематическая концепция производной.Понятие производной встречается уже у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского учёного Д.Грегори, в работах И.Барроу.
Но систематическое учение с выдвижением двух основных проблем математического анализа развито Ньютоном и Лейбницем.

2. Применение производной в физике. ( слайд 6)
Что является производной от расстояния? От скорости?
Задача №1. . Тело движется по координатной прямой по закону S(t)= t3 +6 t2 +5 t. Найдите скорость и ускорение при t=2.
Решение: V(t)= 3t2+12t, V(2)=12+24=48
a(t)=6t+12, a(2)=12+12=24
3. Экономика и производная. (слайды 7-9)
Задача1. Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции Y= -х2+98х+200.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача2: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x-1000.
Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

4. Химический смысл производной.(слайд 10)
Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .

Задача по химии: Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью:
р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
Решение. V(t)=t+3
V(3)=6

5. Задачи, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. (слайды 11, 12)
Задача 1.
При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпендикулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?
Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени-
.Откуда следует: . Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Задача 2
Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.
Решение: Исследуем расход горючего с помощью производной: f'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f'(х)=0 при
х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f''(х)=0,0034>0, следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.
Задача №10.
Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х2 , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.
Решение. Исследуем зависимость суточного удоя с помощью производной у1(х)=6,86-0,98х=0, х=7 – точка максимума, следовательно 7 лет это тот возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.
6.Нам стало интересно… (слайды 13-15)
Как часто в школьной программе используется производная при решении различных математических задач? Мы перелистали и перечитали школьные сборники, тесты ЕНТ за последние последние несколько лет.
И что же получилось? Производная используется при решении следующих заданий: Вычислить производную
Вычислить производную в заданной точке
Все задания на построение касательной к графику функции
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции Нахождение точек экстремума
Нахождение скорости тела в момент времени
Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции
И снова цифры!
год Всего вопросов Кол-во заданий на применение производной % содержания заданий Кол-во заданий в одном варианте
2007 1050 137 13 3-5
2008 500 67 13,4 3-4
2009 625 68 10,9 2-3
2010 625 52 8,1 2-3

Вывод. Изучение темы «Производная» необходимо, так как задания по данной теме имеются в тестах ЕНТ, данная тема помогает решать задачи из различных предметов.
9. тест по производной (слайд 16) – выполнен в программе Му тест, компьютер случайным образом выбирает 7 заданий из 28, составляет свои варианты. Учащиеся в течении 10 минут решают данные задания, после чего программа обрабатывает сама результаты учащихся и переводит их на компьютер учителя, который может проанализировать ошибки учащихся.
Д/з прорешать задания по теме производной из теста ЕНТ 2009г -1-5 варианты.
Итог урока. (слайды 17,18)