Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
урок-конференция "Путешествие в мир гармонии"
| Путешествие в мир гармонии урок-конференция составила учитель математики 1 категории КГУ «СШ № 17» города Риддера Жгун Марина Николаевна <br /><br /> Тема: Многогранники <br /><br /> Цели урока: 1)Обеспечить усвоение учащимися понятия «многогранник» особенностей и типов многогранников; 2)Воспитание эстетических взглядов; 3)Развитие интеллекта мышления, познавательных умений и самостоятельности. <br /><br /> Ход урока: 1)Орг. момент (1-2 мин). 2)Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний. (1-2 мин). 3)Этап усвоения новых знаний (30-35 мин). <br /><br /> Ученица: Темы бывают разные, в том числе вечные. Устройство мира, его гармония – одна из них. Слово «гармония» имеет несколько значений: связь, созвучие, соразмерность, согласованность частей одного целого. Представители многих искусств пытались уловить законы гармонии. Делали это и математики. Например, знаменитый, звездчатый многоугольник, служивший символом здоровья, можно найти в вавилонских рисунках. Для построения звездчатого многоугольника пользовались тем его свойством, что, каждая из его пяти линий делит каждую другую в крайнем и среднем отношении, т.е. меньший отрезок АС относится к большему СВ, как этот больший – к целому отрезку АВ. Это соотношение в последствии назвали золотым сечением и приписали это открытие Пифагору. Золотым же сечение названо потому, что там, где оно присутствует, ощущается красота и гармония. Ученик: Пропорции хорошо сложенного человека подчиняются законам золотого сечения, что особенно заметно на примере греческих статуй. Золотое сечение находит применение не только в архитектуре, но и в живописи – портрет Моин Мун. Его композиция основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника; и в природе – посмотрите на изображение раковины, на нем точка С делит АВ приблизительно в золотом сечении. Но не только пропорциями определяются законы гармонии. В основе красоты многих форм, существующих в природе, лежит, например, симметрия, что в переводе с греческого означает «соразмерность». Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Но эти замечательные тела еще и поэтому красивы, что в основе их пропорциональных линий лежит золотая пропорция. Взять хотя бы икосаэдр. Если соединить два его противоположных ребра, то получится прямоугольник, у которого большая сторона относится к меньшей, как сумма этих сторон к большей. Додекаэдр покрыт правильными пятиугольниками, которые также тесно связаны с «золотой» пропорцией. Учитель: Но что такое октаэдр, тетраэдр…..? Это те многогранники, с которыми нам предстоит сегодня познакомится на уроке. Тема нашего урока «Многогранники». Мы рассмотрим все тела, которые существуют в геометрии. Ваша задача – внимательно слушать сообщения ребят, и в ходе урока составить схему распределения многогранников по группам. Ученица: Многогранник – совокупность конечного, числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многогранников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне). Я расскажу о правильных невыпуклых многогранниках (или правильных звездчатых многогранниках). В XVII в. два звездчатых многогранника были построены Иоганном Кеплером (1571-1630 гг). А в 1810 году Луи Пуансо (1777-1859 гг) обнаружил существование четырех таких многогранников, которым присвоено название многогранников Пуансо. Это следующие многогранники: 1)Малый звездчатый додекаэдр (он имеет 12 граней, являющихся звездчатыми пятиугольниками), 30 ребе и 12 вершин, являющихся вершинами пятигранных правильных выпуклых углов. 2)Большой додекаэдр (имеет 12 граней, являющихся правильными выпуклыми пятиугольниками, 30 ребер и 12 вершин, являющихся звездчатыми правильными пятигранными углами). 3)Большой звездчатый додекаэдр (имеет 12 граней, являющихся правильными звездчатыми пятиугольниками, 30 ребер и 20 вершин, являющихся правильными трехгранными углами.) 4)Большой икосаэдр (имеет 20 граней, являющихся правильными треугольниками, 30 ребер и 12 вершин, являющихся звездчатыми правильными пятигранными углами). Доказать, что других правильных многогранников не существует, Пуано не сумел. Спустя год в 1811 году это сделал французский математик Огюстен Луи Коши (1789-1857 гг). Он воспользовался тем, что согласно определению правильного многогранника – правильные многогранники – это такие выпуклые многогранники, все грани которых суть одинаковые правильные многогранники и все многогранные углы при вершинах тоже правильные и равные; его можно наложить на самого себя так, что произвольная его грань совместится с наперед выбранной. Из этого следует, что все грани звездчатого многогранника равноудалены от некоторой точки – эта точка центр сферы, вписанной в многогранник. Плоскости граней звездчатого многогранника, пересекаясь, образуют еще и правильный выпуклый многогранник, т.е. платоновое тело, описанное около той же сферы. Это платоновое тело Коши назвал ядром данного звездчатого многогранника. Тем самым звездчатый многогранник можно получить, продолжая плоскости граней одного из платоновых тел. Ученик: Правильные выпуклые многогранники (тела Платона) – это такие многогранники, все грани которых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах тоже правильные и равные. Эвклид доказал, что существует пять правильных выпуклых многогранников. 1)Тетраэдр – составлен из 4 – х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех угольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800. 2)Октаэдр – составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех угольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2400. 3)Икосаэдр – составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3000. 4)Куб (гексаэдр) – составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700. 5)Додекаэдр – составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 3240. Все эти типы многогранников были известны в древней Греции – именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «Платоновыми телами», они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Четыре из них олицетворяют ней четыре «сущности», или «стихии»: тетраэдр – огонь, икосаэдр – воду, куб – землю, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, воплощал в себя «все сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. Ученица: Полуправильные выпуклые многогранники (тела Архимеда) – это многогранники, у которых грани – правильные многоугольники, но не обязательно равные между собой, и все многогранные углы равны. Простейшими примерами таких многогранников являются прямые призмы, у которых основания суть правильные n – угольники (n=3,4,5,…..), а боковые грани – квадраты и так называемые скошенные призмы, у которых основания суть правильные n – угольники (n=3,4,5,…..), а боковые грани – 2n равносторонних треугольников. Еще Архимед показал, что кроме двух серий – призм и скошенных призм – существует 13 типов полуправильных многогранников (тела Архимеда). Указания о работе Архимеда имеются у математика III в.н.э. Паппа. Полная теория полуправильных многогранников была восстановлена Кеплером во 2 книге «Harmonices mundi». 1)Плоский куб в качестве граней имеет 32 треугольника и 6 квадратов. 2)Кубооктаэдр – в качестве граней имеет 8 треугольников и 6 квадратов. 3)Усеченный кубооктаэдрический ромб или ромбокубооктаэдр состоит из 8 треугольников и 18 квадратов. 4)Плосконосый додекаэдр – образован из 80 треугольников 12 пятиугольников. 5)Икосододекаэдр – состоит из 20 треугольников и 12 пятиугольников. 6)Усеченный тетраэдр – имеет своими гранями 4 треугольника и 4 шестиугольника. 7)Усеченный куб- состоит из 8 треугольников и 6 восьмиугольников. 8)Усеченный додекаэдр – имеет своими гранями 20 треугольников и 12 десятиугольников. 9)Усеченный октаэдр – образован из 6 квадратов и 8 шестиугольников. 10)Усеченный икосаэдр – состоит из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. 11)Ромбоикосододекаэдр – образован из 20 треугольников, 30 квадратов и 12 пятиугольников. 12)Усеченный кубооктаэдр – состоит из 12 квадратов, 8 шестиугольников и 6 восьмиугольников. 13)Усеченный икосододекаэдр – имеет своими гранями 30 квадратов, 20 шестиугольников и 12 десятиугольников. Замечательно, что в существующей более 2000 лет теории полуправильных многогранников был дефект, замеченный лишь недавно советским математиком В.Г. Ашкинузе. Существует, оказывается 14 полуправильный многогранник Архимеда, который отличается от многогранника (ромбокубооктаэдра) лишь тем, что верхняя часть многогранника, состоящая из 5 квадратов и 4 правильных треугольников, повернута как целое на угол π/4 (450). Именно поэтому эти два случая полуправильных многогранников не различались. Существуют также и звездчатые полуправильные многогранники. В настоящее время известен 51 такой многогранник, но не доказано, что ими исчерпываются все такие многогранники. Ученик: Правильные выпуклые параллелоэдры найдены русским ученым Е.С. Федоровым в 1881 году – многогранники, рассматриваемые как тела, параллельным пересечением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т.е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6 – угольная призма. Топологически различных сеток ребер параллелоэдров пять. Число их граней – 6,8,12,12,14. Для того, чтобы многогранник был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым многогранником одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии. Учитель: К сожалению, мы не можем продемонстрировать модели всех названных многогранников. Например, изготовление моделей звездчатых многогранников – дело не сложное (если следовать инструкциям Веннинджера – автора пособия по изготовлению моделей многогранников – правильных, полуправильных, звездчатых – с описанием техники изготовления и раскраски), но очень трудоемкое. На изготовление одной модели автор затрачивал в среднем по 8-9 часов, а на изготовление особо сложных – по 20 и даже 30 часов. Но вернемся к Платоновым телам, поскольку в школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только их. Помимо 5 названных тел, можно получить еще: например – вот эти тела (демонстрируются). Ученица: Данные многогранники получены из пяти правильных многогранников срезанием их вершин и ребер. Эти многогранники обладают замечательным свойством: вершины каждого из них устроены одинаково. Это означает, что любую вершину, такого многогранника при помощи поворота вокруг некоторой оси можно перевести в любую другую его вершину так, что многогранник при этом совместится с самим собой. Многогранники, устроенные подобным образом, называются положительно транзитивными. Ученик: Также существуют еще многогранники – торы. (Демонстрируются). Ученица: Для всякого выпуклого многогранника справедлива (теорема) формула Эйлера: Г + В - Р = 2 где Г – количество граней, В – количество вершин, Р - количество ребер. (Демонстрируется таблица с проверкой формулы Эйлера для всех платоновых тел). Ученик: А я покажу вам пасьяне на ребрышках платоновых тел. Называется он «Соломенный куб». (демонстрирует) Ученица: Демонстрирует модель многогранника Конелли. Учитель: Итак, сегодня мы рассмотрели многообразие многогранников. Давайте подведем итоги. IV Этап. Закрепление новых знаний. Учитель: 1)На сколько групп можно разделить многогранники? 2)Назовите эти группы, и количество тел в каждой? 3)Назовите тела из платоновой группы. 4)Что называется многогранником? Ученик: Читает басню К. Анкундинова «Ученый кот». У кошки маленький котеночек подрос - Как дальше быть? – возник вопрос. Ловить мышей – такая штука, Что тут нужна теперь наука. Решила мать, что впору Послать котенка в школу И вот за партой в классе Сидит пушистый Вася…. С усердием большим, как наказала мать, Принялся кот науку постигать. Он изучил до тонкости по темам Строение мышей (по графикам и схемам). Их чучела изготовлял из тряпок. В кружке «умелых лапок». Решал, едва не плача, Он про бассейн задачу (Сколь выльется сметаны, когда открыты краны). Был в геометрии, как дома, Знал доказательств остроту; Тригонометрия знакома Была прилежному коту И через 10 лет, науками богат, Понес наш кот домой из школы аттестат…. В то время у какой – то горки Мышонок вылезал из норки, Хоть Васька, изучал мышиный род по книгам, Исконного врага узнал он все же мигом. Но как его схватить? Нельзя же прыгнуть сразу! Тут надо применить Научных знаний базу…. Вот неизвестного мышонка За икс он принял очень тонко. Затем в системе CGS Нашел его удельный вес. υ – скорость, ускоренье – а (А брызги сыплются с пера!) По теореме Пифагора Он путь нашел довольно скоро; Привел ответы, глядя в книгу, К логарифмическому виду; Вписал последнюю строку И приготовился к прыжку… Пока ученый кот над уравнением бился Мышонок – шуг в норке скрылся. Запомните, друзья, соль истины такой: Теория мертва без практики живой. Учитель: Чтобы нам не оказаться в роли ученого кота, со следующего урока мы начинаем практические занятия. Мы познакомимся с первым из платоновых тел – тетраэдром, более подробно, будем определять от симметрии, строить сечения, решать задачи. V этап. Домашнее задание. стр. 71 §3. пп.31,32,33 п.12. стр, 24. На этом наша конференция закончена. <br /><br /> Рекомендуется литература: «Квант» №1, 1976 г. №12, 1980 г. №2, 1985 г. №10, 1979 г. №7, 1979 г. «Математика в школе» . №3, 1993 г. «Наука и жизнь». №9, 1999 г. «Леонард Эйлер». (книга из серии «Жизнь замечательных людей»). «Материал для внеклассной работы по математике» Ф. Шустеф «Выпуклые фигуры и многогранники» Л.А. Люстерник. «Детская энциклопедия» т. 2 «Большая советская энциклопедия». т. 16 «Эстетика урока математики». И. Зенкевич. | |
| Просмотров: 2153 | |
Среда, 2026-03-11, 9:00 AM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|