Коллеги - педагогический журнал Казахстана
Учительские университеты
| Главная » Статьи » В помощь учителю » Математика |
Сборник задач по избранным темам стереометрии
| Аксиомы стереометрии. Простейшие следствия аксиом. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства. <br /><br /> 1. Даны две точки M и N, не лежащие на прямой a. Изобразите с помощью чертежа плоскость α, которая проходит через прямую a и точку N, и плоскость β, которая проходит через прямую a и точку M. В каких случаях плоскости α и β совпадают? <br /><br /> 2. Точки А, В, С принадлежат одной плоскости и не лежат на одной прямой. Изобразите с помощью чертежа точку D, которая: а) принадлежит плоскости АВС; б) не принадлежит плоскости АВС. <br /><br /> 3. Докажите, что прямые АВ, АС и ВС принадлежат одной плоскости. <br /><br /> 4. Даны прямая АВ и две точки С и D, не принадлежащие этой прямой. Плоскость α проходит через прямую АВ и точку С, а плоскость β – через прямую АВ и точку D. Изобразите на чертеже взаимное расположение плоскостей α и β, если точка D не принадлежит плоскости α. В каких случаях плоскости α и β совпадают? <br /><br /> 5. Сторона ВС треугольника АВС лежит на плоскости α. Точки М и К принадлежат треугольнику и размещены так, что прямые МК и ВС не параллельны. Пересекается ли отрезок МК с плоскостью α? Ответ обоснуйте. <br /><br /> 6. Докажите, что два диаметра окружности принадлежат одной плоскости. <br /><br /> 7. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Точка С лежит на прямой с, точки А и В принадлежат соответственно плоскостям α и β и не лежат на прямой с. Докажите, что прямая АС пересекает плоскость β, прямая ВС пересекает плоскость α. <br /><br /> 8. Принадлежит ли плоскости α окружность, если известно, что: а) две разные точки окружности принадлежат плоскости α; б) три разные точки окружности, не лежащие на одной прямой, принадлежат плоскости α? <br /><br /> 9. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке А, точка С принадлежит плоскости α. Изобразите с помощью чертежа линию пересечения плоскости α с плоскостью, которая проходит через отрезок АВ и точку С. <br /><br /> 10. Сформулируйте, в каких случаях четыре точки не принадлежат одной плоскости. <br /><br /> 11. Три вершины параллелограмм принадлежат плоскости α. Можно ли утверждать, что и четвёртая вершина параллелограмма принадлежит плоскости α? <br /><br /> 12. В пространстве даны четыре прямые, которые пересекаются в одной точке. Через две произвольные прямые проходит плоскость. Сколько плоскостей можно провести, если любые три из них не принадлежат одной плоскости? <br /><br /> Призма. <br /><br /> 1. Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны 6 см², 2 см² и 3 см². Найдите его объём. 2. Длины трёх измерений в прямоугольном параллелепипеде равны 2 см, 3 см и 6 см. Определите диагональ параллелепипеда. 3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см. Боковое ребро параллелепипеда 2,5 см. Найдите объём параллелепипеда. 4. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, если угол между диагональю призмы и боковой гранью равен 30º, а сторона основания равна a. 5. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 см и 4 см образуют угол 30º, боковое ребро равно 7 см. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда. 6. Площадь поверхности куба равна 96 см². Найдите объём куба. 7. В прямоугольном параллелепипеде основание – квадрат. Диагональ основания равна 4 см. Площадь боковой поверхности 8 см². Найдите высоту параллелепипеда. 8. Требуется из проволоки сделать каркасную модель прямоугольного параллелепипеда с рёбрами, равными 12 см, 8 см, 5 см. Сколько пойдёт на изготовление параллелепипеда проволоки? На обрезки положить 3%. 9. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 8 см, угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с основанием угол в 60º.Найдите его диагонали. 10. Найти диагональ правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна 6 см, а диагональ боковой грани 8 см. 11. Найти диагональ правильной четырёхугольной призмы, если диагональ основания равна 8 см, а диагональ боковой грани 7 см. 12. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 25 см, высота 15 см, сторона основания равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 13. Поверхность куба состоит из шести квадратов. Вычислите площадь поверхности куба, ребро которого содержит 5 см. 14. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3 см и 4 см, а высота параллелепипеда 6 см. Найдите площадь диагонального сечения. 15. Площадь диагонального сечения куба равна 16√2 см². Вычислите ребро куба, диагональ основания, диагональ куба. 16. Основанием прямой призмы служит ромб со стороной 10 см и высотой 9,6 см. Высота призмы равна 12 см. Найдите диагонали призмы. 17. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 15 см и 2 см, а сумма диагоналей основания равна 32 см. Высота параллелепипеда 32 см. Найдите диагонали параллелепипеда. 18. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся, как 3:4:12, а диагональ его равна 26 см, найдите измерения параллелепипеда. 19. Найдите диагональ правильной четырёхугольной призмы, у которой площадь основания равна 450 см², а боковое ребро 40 см. 20. Основанием прямой призмы служит параллелограмм, стороны которого равны 13см и 15 см, а высота 12 см. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 45º. Найдите диагонали призмы. <br /> Пирамида. <br /><br /> 1. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 10 м, оно наклонено к плоскости основания под углом 30º. Вычислите длину: а) высоты пирамиды; б) стороны основания пирамиды. 2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 24 см. Расстояние от центра основания пирамиды до середины бокового ребра равно 13 см. Вычислите длину: а) бокового ребра пирамиды; б) стороны основания пирамиды. 3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 17 см, её высота 15 см. Вычислите длину стороны основания. 4. Основанием пирамиды служит параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см. Высота пирамиды проходит через точки пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Большее боковое ребро пирамиды равно 6 см. Найти диагонали основания. 5. В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 5 дм и 11 дм, а боковое ребро – 4 дм. Найти высоту и апофему пирамиды. 6. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота и апофема равны соответственно 15 см м 17 см. Высота меньшего основания равна 6 см. Найти стороны оснований и боковое ребро. 7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 12 см и образует с плоскостью большего основания угол в 60º. Сторона меньшего основания равна 3 см. Найти сторону большего основания, высоту и апофему пирамиды. 8. В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 18 см и 12 см, а боковые грани наклонены к плоскости большего основания под углом в 45º. Найти высоту и боковое ребро этой усечённой пирамиды и высоту соответствующей полной пирамиды. 9. Основания усечённой пирамиды – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны 10 см и 26 см. Высота пирамиды проходит через центры описанных около оснований кругов и равна 6 см. Определить боковые рёбра пирамиды. 10. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площадь меньшего основания равна 36 см², а площадь боковой грани 14 см². Боковая грань наклонена к плоскости большего основания под углом в 60º. Найти сторону большего основания. 11. Площади оснований усечённой пирамиды рваны 16 см² и 144 см², а высота – 18 см. Найти высоту пирамиды, дополняющей усечённую пирамиду до полной. 12. Определить поверхность правильного октаэдра, если его ребро равно 5 см. 13. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 8 см, а сторона основания - 4 см. Определить полную поверхность пирамиды. 14. сколько листов железа потребуется на покрытие крыши, которая имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания в 4,2 м при длине ската 6,5 м? Размеры листов железа 140 см на70 см. На швы и обрезки добавить 10% 15. Определить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 15 см, а диаметр вписанного в основание круга равен 18 см. 16. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 20 см, а её расстояние от противолежащего бокового ребра – 15 см. Определите боковую поверхность пирамиды. 17. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого 100 дм². Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углами 30º и 60º. Найти полную поверхность пирамиды. 18. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 15 см и 20 см; каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 60º. Найти полную поверхность пирамиды. 19. Стороны оснований треугольной пирамиды равны 26 см, 28 см и 30 см. Плоскости боковых граней наклонены к основанию под углом 60º. Найти полную поверхность пирамиды. 20. Стороны оснований правильной усечённой пирамиды равны 10 см и 6 см, а апофема 15 см. Вычислить боковую и полную поверхность пирамиды: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной. | |
| Просмотров: 6823 | Комментарии: 1 | |
Среда, 2026-03-11, 9:00 AM
Приветствую Вас Гость
Приветствую Вас Гость
Форма входа |
|---|
Социальные закладк |
|---|
Поиск |
|---|
Друзья сайта |
|---|
Теги |
|---|
Статистика |
|---|